ГЛАВА 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ n-УГОЛЬНИКА

§ 1. Симметрические циклические классы

В векторном пространстве n-угольников рассмотрим отображение

которое всякому n-угольнику А ставит в соответствие n-угольник А с тем же началом, но с противоположным порядком обхода вершин.

Очевидно, что отображение (1) является инволютнвным линейным отображением на себя:

Далее, откуда следует, что для любого циклического отображения

Если А принадлежит циклическому классу, являющемуся ядром отображения то (и обратно), т. е. отображение (1) переводит всякий циклический класс снова на циклический класс.

Условимся называть симметрическими те циклические классы, которые переводятся в себя отображением (1); другими словами, циклический класс является симметрическим, если вместе с каждым n-угольником А он содержит также и n-угольник А.

Имеет место

Теорема 1. Симметрические циклические классы n-угольников образуют булеву подалгебру булевой алгебры всех циклических классов n-угольников. Эта подалгебра содержит четыре основных класса; вместе с каждым свободным циклическим классом она содержит соответствующий ему центральный класс, и обратно.

Последнее утверждение следует из теоремы 2 гл. 3,

Рассмотрим следующее отображение кольца (определенное для многочленов

Ясно, что для каждого из Многочлен называется симметрическим, если и кососимметрическим, если

1°. Если ассоциирован то — симметрический или кососимметрический многочлен (и обратно).

Доказательство. Пусть где с Если -старший коэффициент и его свободный член, то следовательно, .

2°. Отображение (1) переводит циклический класс на циклический класс

Доказательство. Так как все степени обратимы в то ассоциированы в а значит, имеют одинаковые ядра (см. теорему 5 гл. 6):

Для доказательства следующей теоремы напомним о существовании изоморфизма структуры делителей многочлена на булеву алгебру циклических классов n-угольников (теорема 5 гл. 8):

Теорема 2. Пусть Если многочлен симметричен или кососимметричен, то класс симметричен, и обратно.

Прежде всего заметим, что из в самом деле, если то

Доказательство теоремы 2. В силу изоморфизма ассоциированы тогда и только тогда, когда (по поводу «только тогда» см. замечание выше), после чего теорема 2 следует из 1° и 2°.

Многочлен кососимметричен, и если симметричен, то произведение кососимметрично. Если то каждый кососимметрический многочлен можно получить из симметрического умножением на

3°. Если то множество кососимметрических многочленов совпадает с множеством многочленов вида где симметрический многочлен.

Доказательство. Для любого многочлена имеем Если кососимметричен, то, кроме того, ; следовательно, при т. е. делится на Из следует, что откуда

4°. Многочлен

не имеет кососимметрических делителей.

Доказательство. Отсюда следует, что ни ни его делители не делятся на Если то в силу не имеет кососимметрических делителей. Если же то всякий кососимметрический многочлен одновременно является симметрическим, что тоже позволяет условно считать наше утверждение справедливым.

Следствие теоремы 2. Симметрические делители многочлена определяют симметрические центральные классы; они же, умноженные на определяют свободные симметрические классы.

Доказательство. Симметрические центральные классы содержатся в нуль-изобарическом классе. Так как последний определяется многочленом (см. § 4 гл. 8), то симметрические центральные классы определяются симметрическими или кососимметрическими делителями (теорема 2). В силу 4° можно считать эти делители симметрическими.

Если многочлен симметрический делитель определенный им симметрический центральный класс, то многочлен, определяющий соответствующий свободный класс (§ 4 гл. 8). По теореме 1 класс тоже симметричен.

Пример. Многочлены деления круга где симметричны при (см. приложение I); многочлен кососимметричен. Над полем рациональных чисел эти многочлены определяют атомарные циклические классы. В силу теоремы 2 они симметричны. Отсюда следует (теорема 1), что симметричны все циклические классы над

Упражнения

(см. скан)