ГЛАВА 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ n-УГОЛЬНИКОВ

§ 1. Циклические отображения

Во введении приведены примеры отображений множества n-угольников в специальные подмножества, которые оказываются циклическими классами. Например, каждому n-угольнику ставится в соответствие n-угольник, образованный серединами сторон:

где

Система, определяющая это отображение, носит явно циклический характер: всякое последующее уравнение получается из предыдущего циклической подстановкой индексов

Дадим теперь общее определение. Линейное отображение множества всех n-угольников в себя называется циклическим, если оно задается системой

где образ n-угольника при данном отображении. Коэффициенты назовем -набором коэффициентов циклического отображения. Ядро этого отображения (множество n-угольников, переходящих в определяется однородной системой, получающейся, если в (1) положить Она совпадает с системой (2) гл. и, следовательно, определяет циклический класс (задаваемый тем же -набором Итак, получена

Теорема 1. Циклический класс является ядром циклического отображения с тем же набором коэффициентов.

Эта определяющая связь между циклическими классами и циклическими отображениями является основанием для дальнейшего изучения циклических классов.

Теорема 2. Различные -наборы элементов из К определяют различные отображения.

Доказательство. Надо доказать, что если два отображения совпадают, то совпадают также определяющие их -наборы Как и раньше, предположим, что пространство V состоит не из одного только нуль-вектора; итак, пусть По предположению оба циклических отображения переводят n-угольник в один и тот же n-угольник, т. е.

Так как отсюда следует, что для всех

Итак, число циклических отображений равно числу -наборов элементов из Различные циклические отображения могут иметь один и тот же циклический класс в качестве ядра. К числу стоящих перед нами задач относится и задача определения количества циклических классов.

Примеры из введения приводят к близкому вопросу: всякое ли циклическое отображение переводит множество всех n-угольников в циклический класс? В этой и следующей главах будут найдены образы геометрически наглядных циклических отображений. Ответ на общий вопрос будет дай в гл. 6 и далее.