§ 3. Идемпотентные эндоморфизмы абелевой группы; Im-вложения

Под вложением мы будем понимать изоморфизм или антиизоморфизм структуры на подструктуру структуры т. е. взаимно однозначное отображение

сохраняющее структурные операции «максимум» и «минимум» или меняющее их местами.

В теоремах, связанных с этим понятием (теоремы вложения), речь идет о вложениях некоторых «малых» структур с определенными свойствами (как, например, булевых алгебр) в «большие», которые, вообще говоря, даже не являются дистрибутивными.

Рис. 51.

Рис. 52.

Пусть - абелева группа, -кольцо эндоморфизмов группы - структура подгрупп группы А. Если идемпотентный эндоморфизм то

является булевой алгеброй эндоморфизмов группы Образы отображений (13) являются подгруппами в При переходе к образам операциям соответствуют операции Поэтому отображение является изоморфизмом булевой алгебры (13) на следующую подструктуру структуры

которая тем самым тоже является булевой алгеброй (рис. 53). Результатом этого вложения является теорема 8 из § 4 гл. 2. Двойственные рассуждения приводят к выводу, что антиизоморфизм структур (13) и (14).

Это утверждение можно обобщить. Пусть произвольная булева алгебра эндоморфизмов Заметим, что элементами являются попарно коммутирующие идемпотентные эндоморфизмы. Если говорят, что

Теорема 3 (теорема об -вложении). Пусть булева алгебра эндоморфизмов абелевой группы тогда (т. е. отображение является изоморфизмом на подструктуру структуры подгрупп

Рис. 53.

Эта подструктура, естественно, также является булевой алгеброй; обозначим ее

Доказательство. В силу теоремы 7 гл. 2 отображение взаимно однозначно. Поэтому остается доказать, что для коммутирующих идемпотентных эндоморфизмов справедливы равенства

Если , то

Действительно, для первого включения (15) имеем: если то Второе включение очевидно (см. § 4 гл. 2).

Третье включение проверяется легко:

Для первого включения (16) имеем: если то т. е. Второе включение:

Если кроме того, идемпотентны, то и (15) и (16) превращаются в (15), (16), [(16) выполняется даже для таких коммутирующих отображений из которых по крайней мере одно идемпотентно.]

Для коммутирующих идемпотентных эндоморфизмов выполняются также правила

которые выводятся из (15) и (16) с помощью равенства и законов де Моргана. Три следующих соотношения эквивалентны:

Для нас теорема 3 представляет интерес в том случае, когда Тогда принадлежат для всякого элемента из существует дополнительный элемент взаимно дополнительные элементы из переходят при -вложении во взаимно дополнительные подгруппы и произведение отображений (т. е. отображение является антиизоморфизмом на

Дополнение. Если эндоморфизмы удовлетворяющие условиям

и

то

Доказательство. В силу попарно коммутируют. В порожденном ими подкольце кольца выполнены теорема 2 и ее дополнения;

частичные суммы выражения образуют булеву алгебру, атомарными элементами которой являются Заменим (19), (20) эквивалентными равенствами второго дополнения. Доказываемое утверждение следует теперь из теоремы 3.

Упражнения

(см. скан)