ГЛАВА 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

§ 1. «сигма»-ядро

Здесь мы будем заниматься отображениями, которые являются одновременно циклическими и изобарическими; к их числу относятся, например, отображения Вапомним, что изобарическим называется отображение переводящее в себя каждый изобарический, класс, т. е. такое, что для всякого n-угольника А, что можно также записать в виде равенства

Если циклическое отображение, то формуле (1) эквивалентны следующие утверждения:

По поводу эквивалентности равенств (1) и (3) см. § 3 гл. 2. Эта эквивалентность вытекает также из следующей леммы:

Лемма. Для всякого циклического отображения

Доказательство нетрудно получить, вспомнив свойства произведения циклических отображений; см. § 2 гл. 2.

Обратимся теперь к эквивалентности (1) и (4). Ясно, что (1) эквивалентно равенству (ибо циклические отображения коммутативны); последнее же означает, что для всякого n-угольника А

Итак, пусть изобарическое отображение. Ядро есть центральный класс (см. теорему 6 гл. 2). Наряду с множеством n-угольников, которые отображение обращает в нуль, рассмотрим множество n-угольников, которые переводит в тривиальные n-угольники (т. е. в их центры тяжести). Это множество назовем -ядром отображения

-ядро также является циклическим классом (теорема 1 гл. 2); он содержит все тривиальные n-угольники [ибо для каждого тривиального n-угольника А и в силу а следовательно, значит, является свободным циклическим классом. Это следует также из теоремы 6 гл. 2, если учесть, что

Упражнение. Справедливо равенство Пользуясь им, докажите лемму.