§ 3. Сумма коэффициентов циклического отображения

Некоторые свойства циклического отображения связаны с числом -суммой коэффициентов этого отображения. Соответствие

является гомоморфизмом алгебры в К действительно, равенство

непосредственно следует из (4).

Аналогично, из определения (1) циклического отображения следует, что

Отсюда вытекает:

Если сумма коэффициентов циклического отображения равна 0, то переводит каждый n-угольник в n-угольник с центром тяжести , а все множество в нуль-изобарический класс Такие отображения составляют ядро гомоморфизма (5) и, следовательно, идеал алгебры

Циклические отображения с суммой коэффициентов -это те отображения, которые сохраняют центр

тяжести любого n-угольника и, следовательно, изобарические классы. Такие циклические отображения мы будем называть изобарическими циклическими отображениями. Произведение таких отображений является изобарическим циклическим отображением.

Пример. Отображение о из § 3 гл. 1, сопоставляющее каждому n-угольнику его центр тяжести, есть изобарическое циклическое отображение с набором коэффициентов

Очевидно, что

Теорема 1 допускает уточнение. Всякий циклический класс служит ядром циклического отображения, либо имеющего нулевую сумму коэффициентов, либо изобарического. Действительно, если то изобарическое отображение с тем же ядром, что и Отсюда и из теоремы 1 гл. 1 следует

Теорема 6. Свободные циклические классы являются ядрами циклических отображений с нулевой суммой коэффициентов; центральные классы — ядрами изобарических отображений.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)