§ 2. Булевы алгебры, порожденные конечным числом элементов

Примеры предыдущего пункта служат иллюстрацией также к следующей теореме, которая основывается на представлении единицы в виде суммы попарно ортогональных элементов.

Теорема 2. Пусть в коммутативном кольце с единицей элементы отличны от и таковы, что

Тогда все «частичные суммы» выражения образуют булеву алгебру по отнсшению к операциям содержащую 2 элементов, причем элементы в ней атомарны. Под «частичными суммами» выражения

подразумевается само это выражение и все те, которые получаются из него, если отбросить любое число слагаемых. Таких частичных сумм можно построить 2, включая пустую сумму, равную 0.

Перейдем теперь к доказательству этой теоремы.

1) Все идемпотентны. Действительно, умножим обе части равенства (6) на В силу (7) получаем

2) Для попарно ортогональных элементов операции совпадают. А так как все попарно ортогональны, то частичные суммы выражения (8) являются также булевыми суммами. В частности, всякая частичная сумма идемпотентна.

3) Произведение двух частичных сумм снова является частичной суммой; она состоит из тех слагаемых которые входят в оба сомножителя («пересечение» частичных сумм).

4) Булева сумма двух частичных сумм также является частичной суммой; в нее входят те которые содержатся хотя бы в одном из сомножителей («объединение» частичных сумм). Так,

5) Дополнение к данной частичной сумме есть сумма всех тех которые в нее не вошли.

Из 1) и 2) следует, что частичные суммы выражения (8) являются элементами согласно 3), 4), 5), они образуют булеву подалгебру алгебры

6) Две частичные суммы совпадают тогда и только тогда, когда в них входят в точности одни и те же слагаемые. (Пусть, например, умножив это равенство на получим в противоречии с тем, что В частности, ее если

Таким образом, наша подалгебра состоит из 2 элементов.

7) Произведение на частичную сумму равно или 0, смотря по тому, входит в; в эту частичную сумму или нет. Отсюда следует, что атомарны (см. приложение II).

Наконец, очевидно, что частичные суммы более чем с одним слагаемым не атомарны, чем и завершается доказательство теоремы.

Дополнение 1. Если в теореме 2 отказаться от предположения для всех то частичные суммы выражения по-прежнему будут составлять булеву подалгебру с атомарными элементами

Если I — число элементов то эта подалгебра содержит 2; элементов.

Дополнение 2. Для элементов и (7) эквивалентны равенствам

и

Таким образом, утверждение, что попарно ортогональные элементы, в сумме дающие 1, эквивалентно следующему: любой из элементов дополнителен к булевой сумме остальных, и их «прямая» булева сумма равна 1.

Доказательство. В доказательстве теоремы 2 мы уже перешли от (6), (7) к (6), (7) [см. 1), 2), 3)]. Обратно, пусть элементы удовлетворяют (6), (7). Обозначим тогда равенства (6). (7) принимают вид

Это означает, что Умножив последнее равенство на получим значит, идемпотентны и, следовательно, идемпотентна любая их булева сумма. Далее, если то в силу закона поглощения (см. приложение II, аксиома 3). Умножим теперь полученное равенство на мы получим что доказывает (7). Равенство (6) следует из (6) и (7).

Пусть теперь произвольные элементы [так что равенства (6) и (7) не обязаны выполняться]. Определим так называемые минимальные булевы многочлены от к числу которых относятся выражение

и все многочлены, которые могут быть получены из (9) заменой любого числа элементов на Формально число этих многочленов равно мы обозначим их через Справедливы равенства

и

[Равенство (10) доказывается индукцией по очевидно, следует из того, что

Суммы минимальных многочленов, т. е. частичные суммы

образуют булеву подалгебру алгебры (дополнение 1 к теореме 2); эта подалгебра содержит элементы (Действительно, запишем, например, равенство и представим в виде суммы всех минимальных многочленов от Это есть минимальная булева подалгебра содержащая заданные элементы будем говорить, что она порождена ими.

Отличные от нуля минимальные многочлены атомарны в этой подалгебре. Если их количество равно I, то подалгебра содержит 2 элементов. Очевидно, В случае будем называть порожденную элементами подалгебру свободной подалгеброй.

Примеры

1. Пусть и Минимальные многочлены от — это остальные суммы минимальных многочленов и Булева алгебра, порожденная элементом состоит из 4 элементов: (рис. 51).

2. Пусть Минимальные многочлены от суть следующие: Три последних отличны от нуля. Все отличные от нуля суммы минимальных многочленов сводятся к Таким образом, булева алгебра, порожденная элементами состоит из 8 элементов (рис. 52).