ГЛАВА 3. ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ

§ 1. Изобарически распадающиеся n-угольники

Обозначим через число делителей . Как известно, оно зависит от показателей степени, с которыми входят простые делители в «каноническое разложение» числа

Пусть -делитель Вершины n-угольника расположим в таблицу по модулю

В строках этой таблицы стоят -наборы, определяющие хордовые n-угольники заданного n-угольника (см. §5 гл. 1); число их равно

Различные циклические классы можно определять наложением условий на эти хордовые многоугольники. Если потребовать, чтобы все хордовые n-угольники из (1) были тривиальными, то получится периодический класс Существует периодических классов; их можно расположить в диаграмму включений, аналогичную диаграмме делителей числа

Будем говорить, что n-угольник -кратно изобарически распадается, если хордовых многоугольников из (1) имеют общий центр тяжести. Легко проверить, что он совпадает с центром тяжести исходного n-угольника. Все -кратно распадающиеся n-угольники

образуют свободный циклический класс определяемый циклической системой

Крайние случаи здесь таковы:

Примеры для -класс n-угольников с равной нулю знакопеременной суммой вершин; класс -параллелограммов.

Для всякого делителя числа существует свой класс А. Следовательно, всего имеется классов изобарически распадающихся n-угольников; их можно расположить в диаграмму включений соответственно диаграмме делителей числа

При класс есть класс призм (см. заметку о сложении n-угольников), а множество n-угольников, распадающихся как на 2 изобарических n-угольника, так и на 3 изобарических n-угольника, т. е. класс аффинно-правильных n-угольников (теорема 5 гл. 1). Примеры показывают, что сумма двух периодических классов в общем случае не является периодическим классом и пересечение двух классов типа также не является классом того же типа. Таким образом, с помощью взятия сумм периодических классов и пересечений классов типа можно получать новые циклические классы.

Замечание по поводу обозначений. Для того чтобы оттенить разницу между делителем числа и «дополнительным» делителем подчеркнем, что в обозначении верхний индекс указывает число изобаричных хордовых многоугольников, на которые распадаются n-угольннки рассматриваемого класса, а не количество вершин в каждом из этих многоугольников. Это замечание будет важно ниже, при определении отображения

Упражнения

(см. скан)

3. Множество периодических классов является -подсвязкой», а множество классов -подсвязкой» структуры подпространств пространства Сравните их со структурой делителей числа