ПРИЛОЖЕНИЕ I. МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА

§ 1. Корни из единицы

Пусть заданы натуральное число и поле К, характеристика которого не делит

Элемент некоторого расширения поля К называется корнем степени из 1, если он является корнем многочлена

В силу предположения относительно характеристики поля К многочлен и его производная взаимно просты. Отсюда следует, что многочлен свободен от квадратов и не имеет кратных корней ни в каком расширении поля К (ср. с теоремой 3 гл. 6.)

Таким образом, поле разложения над К имеет ровно различных корней степени из 1. Они образуют группу относительно умножения. Эта группа как конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической Каждый порождающий ее элемент называется первообразным корнем степени из 1. Если первообразный корень степени из 1, то все элементы

являются корнями степени из 1; при этом тогда и только тогда является первообразным корнем, когда Число первообразных корней степени из 1 равно значению функции Эйлера которая определяется как число взаимно простых с натуральных чисел, меньших

В циклической группе корней степени из 1 всякий элемент имеет порядок, равный некоторому делителю числа следовательно, является первообразным корнем

степени из 1. Таким образом, и множество корней степени из 1 состоит из первообразных корней степени из 1, где пробегает все делители числа

Поле разложения над простым полем характеристики (или характеристики где простое число, не делящее называется полем деления круга характеристики (соответственно характеристики

Рис. 95.

Оно получается из исходного простого поля присоединением к нему первообразных корней степени из 1.

Поле комплексных чисел при любом содержит все корни степени из 1. Первообразным корнем степени из 1 является число

На гауссовой числовой плоскости все корни степени из располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1 (рис. 95).

Упражнения

(см. скан)