§ 7. Изобарические циклические проекции для n=4
Пусть 
Для каждого из трех периодических классов n-угольников изобарическими проекциями, переводящими в эти классы все пространство 
являются соответственно 
Больше никаких циклических проекций с этими классами в качестве образов не существует. Это следует из теоремы 7 и коммутативности циклических отображений.
Найдем циклическую проекцию, переводящую 
в класс параллелограммов. Поскольку 
-квазипроекция (теорема 10), искомой проекцией является 
где 
ограничение 
на множестве параллелограммов (см. § 4 этой главы).
Пусть А — произвольный n-угольник, и пусть 
Тогда 
т. е. А — параллелограмм, имеющий с А одинаковые середины сторон, и 
— искомая проекция:
Теорема 11. Пусть 
отображение, сопоставляющее каждому n-угольнику такой параллелограмм, что середины сторон образа и исходного n-угольника совпадают, является циклической проекцией множества 
на класс параллелограммов; оно изобарично и равно 
Доказательство. Пусть 
определены, как выше, 
Чтобы получить явное выражение 
через 
необходимо, положив
подставить в формулу (13) из § 6 значение с, задаваемое равенством (14). При этом мы получим циклическую систему
Таким образом, 
- циклическое отображение с коэффициентами 
, сумма которых равна 1;
в 
это отображение задается так:
Последнее выражение, записанное в форме
дает, способ построения параллелограмма А, если задан n-угольник А: а есть четвертая вершина параллелограмма, натянутого на точку 
середину диагонали 
и центр тяжести А (рис. 44;
Рис. 44.
центр тяжести А есть середина отрезка, соединяющего середины диагоналей в А).
Итак, для каждого из четырех свободных циклических классов (см. § 8 гл. 1) существует изобарическая циклическая проекция, переводящая в этот класс все пространство
Теперь снова возникает общий вопрос: для всякого ли циклического класса n-угольников существует циклическая проекция, переводящая в него все пространство
