§ 2. Делители многочлена х^n-1 и циклические классы

Как известно, -вложение является изоморфизмом булевой алгебры циклических проекций на булеву алгебру циклических классов n-угольников (см. § 2 гл. 6). С другой стороны, если то ядро циклического отображения является циклическим классом (теорема 1 гл. 2). Мы будем называть его циклическим классом, определенным многочленом Точнее говоря, этот класс определяется циклической системой уравнений, -набор коэффициентов которой совпадает с -набором коэффициентов многочлена (ср. § 3 гл. 6).

Теорема 5. Отображение

задает изоморфизм структуры делителей многочлена на булеву алгебру циклических классов n-угольников.

Докажем теорему последовательным применением уже известных изоморфизмов.

Циклическая проекция, переводящая множество всех n-угольников в циклический класс n-угольников, определенный многочленом есть

Действительно, и циклическая проекция имеют совпадающие ядра (теорема 4); поэтому

[см. формулы (7) гл. 2 и равенство (12) гл. 6, где роль играет

Доказательство теоремы 5. Произведение отображений является изоморфизмом на В силу формулы (15) он совпадает с отображением (14).

Рис. 60.

Предположим, что выбрана система 2 попарно не ассоциированных делителей тогда из теоремы 5 следует

Теорема 6. Любой из циклических классов n-угольников описывается циклической системой уравнений, -набор коэффициентов которой совпадает с -набором коэффициентов одного из делителей многочлена (ср. теорему 8 гл. 6).

Теорема 7. Две циклические системы уравнений с -наборами коэффициентов тогда и только тогда определяют один и тот же циклический класс, когда многочлены и имеют один и тот же с многочленом

Таким образом, вопрос о том, определяют ли две циклические системы один и тот же класс, можно решить с помощью алгоритма Евклида.

Доказательство теоремы 7. Равенство эквивалентно равенству (теорема 5 гл. 6); по лемме из § 5 гл. 7 последнее равенство эквивалентно утверждению, что имеют с один и тот же

Изоморфизмы теоремы 2 позволяют отобразить каждую из алгебр на тогда как отображает на Таким образом, для каждой из алгебр

имеется изоморфизм, отображающий ее на булеву алгебру циклических классов При этом элементам алгебр отвечающим друг другу в силу теоремы 2, сопоставляется один и тот же циклический класс.

Каждый из изоморфизмов алгебр на указывает свой путь к изучению циклических классов. Для изоморфизма на он изложен в теоремах 5 и 6. Чаще всего мы будем пользоваться этим изоморфизмом и изоморфизмом алгебры на Изоморфизм на является отображением он ставит в соответствие каждому элементу циклический класс Кеге и представляет самостоятельный интерес (см. § 3 гл. 5). Изоморфизмы на ставят в соответствие каждому идеалу циклический класс и будут рассмотрены в гл. 9.

Упражнение.

(см. скан)