§ 4. Градуировка. Степень свободы циклического класса

Такие понятия, как степень, размерность, ранг, позволяют поставить в соответствие каждому элементу булевых алгебр некоторое число из множества . А именно:

Делителю а также классу ассоциированных делителей сопоставим степень многочлена

Идеалу из сопоставим размерность идеала

[Алгебра по теореме 4 гл. 2 является -мерным векторным пространством над всякий идеал как подпространство имеет свою размерность.]

Циклической проекции сопоставим ее ранг

[под рангом циклического отображения понимается ранг циклической матрицы

(1в) Циклическому классу сопоставим его степень свободы

При этом справедливы соотношения

Несколько отложив доказательство этих равенств, выведем из них важные следствия.

Если -делитель то

Первое равенство выполняется в силу теоремы 2 гл. 1, второе и третье следуют из (16), (17).

Снова заменим структуру идеалов из двойственной ей структурой и поставим в соответствие идеалам их коразмерность:

Тогда происходит одновременная градуировка алгебр

Теорема 4. Элементам булевых алгебр переводимым друг в друга изоморфизмами теоремы 2 гл. 8, соответствует одно и то же число.

Доказательство. Четыре переходящих друг в друга элемента из можно записать так:

(см. теоремы 2 и 5 гл. 8). Им соответствуют числа

Первое, второе и четвертое числа одинаковы в силу (18). Далее, (см. равенство (8) гл. 8 и конец § 1 той же главы), а из (16) и (17) следует, что

Теорема доказана.

Следствием из теоремы 4 является

Теорема 5. Степень свободы циклического класса, определенного делителем многочлена равна степени многочлена степень свободы циклического класса, определенного циклической системой с коэффициентами равна степени многочленов

Так как сумма степеней простых делителей многочлена равна то сумма степеней свободы атомарных циклических классов -уголышков всегда равна Этот факт следует также из того, что справедлива

Теорема 6. Для любых циклических классов

Действительно, аналогичная формула справедлива для размерностей любых двух подпространств векторного пространства; нам достаточно лишь применить ее к пространству [идеалы являются в нем подпространствами] и воспользоваться тем, что

Предоставляем читателю обобщить на булевы алгебры циклических классов n-угольников утверждение о разностях степеней свободы соседних классов в диаграмме циклических классов n-угольников (см. § 8 гл. 1).

Перейдем, наконец, к доказательству равенств (16) и (17). Рассмотрим изоморфное кольцу факторкольцо Его элементы — смежные классы где мы условимся обозначать классы где образуют изоморфное К подкольцо кольца Если положить по определению

то превратится в алгебру над К, каждый элемент которой имеет вид где Как векторное пространство над К эта алгебра имеет размерность ; ее базис образуют элементы

Всякий идеал в является главным идеалом (см. теорему 3 гл. 7), его размерность как подпространства векторного пространства мы обозначим через

Докажем следующие формулы:

В силу изоморфизма они совпадают с формулами (16) и (17).

Доказательство (16). Положим Смежные классы

образуют систему, порождающую подпространство Согласно равенствам

максимальное число линейно независимых классов системы (20) равно рангу матрицы что и требовалось доказать.

Доказательство (17). Для утверждение справедливо. Пусть теперь Смежные классы

линейно независимы. Действительно, если бы линейная комбинация смежных классов (21) с коэффициентами равнялась [0], то мы имели бы однако это возможно лишь в том случае, когда

Обозначим через многочлен степени сравнимый с по модулю Так как то также Отсюда следует, что или Очевидно, что поэтому смежный класс

лежит в подпространстве порожденном классами (21). Следовательно,

Итак, Отсюда следует, что Базис состоящий из смежных классов (21), является также базисом что и доказывает формулу (17).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)