§ 2. Два типа циклических классов

Теорема 1. Всякий циклический класс является или -ядром, или ядром некоторого изобарического циклического отображения. Свободные циклические классы являются -ядрами, а центральные — ядрами изобарических циклических отображений.

Доказательство. В силу теоремы 6 гл. 2 достаточно показать, что ядро циклического отображения для которого является также -ядром некоторого изобарического циклического отображения. Обозначим тогда

Мы хотим установить связь между свободными и центральными циклическими классами. Предварительно установим следующие соотношения (в которых — циклическое

изобарическое отображение):

а — нуль-изобарический класс, -класс тривиальных n-угольников (см. § 3 гл. 2).

Доказательство (5) и (7). Пусть А — произвольный n-угольник. Три следующих утверждения эквивалентны между собой: а) существует такой n-угольник В, что

Из а) следует а значит, в силу (1), т. е. равенства Если выполняется то следовательно, верно и с). Из с) в силу (2) следует т. е. а).

Эквивалентность b) и а) видна из равенства (5), эквивалентность с) и а) — из равенства (7).

Равенство (6) можно доказать аналогично, но мы воспользуемся свойствами модулей. Если подпространства некоторого векторного пространства (а циклические классы являются ими), то

(см. приложение II). Далее, -ядро отображения является свободным циклическим классом; поэтому и

Из теоремы 1, (5) и (6) следует, что отображение

является взаимно однотонным отображением множества свободных циклических классов на множество центральных

классов. Таким образом, каждому свободному циклическому классу соответствует единственный центральный класс, который мы обозначим Результат сформулируем в виде следующего правила и теоремы 2:

Правило. Если изобарично и то

Рис. 45.

Теорема 2. Соответствие где -свободный, а отвечающий ему центральный циклический класс, является взаимно однозначным отображением множества всех свободных циклических классов на множество центральных циклических классов. При этом справедливы равенства

Циклическая проекция (см. § 4 гл. 2) сопоставляет каждому n-угольнику А n-угольник с центром тяжести , получаемый из А параллельным переносом. Теорема 2 утверждает, что эта проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между обоими типами классов.

Рассматриваемое соответствие (см. рис. 45) очень естественно. Достаточно ограничиться одним из этих типов, поскольку привлечение второго типа не может

ставить нам никаких новых геометрически содержательных фактов. Однако подобнле ограничение (скажем, свободными циклическими классами) может оказаться затруднительным из-за чисто алгебраических осложнений. Следующий параграф содержит некоторые указания по этому поводу.

Рис. 46.

Иногда мы будем пользоваться этими ограничениями, например в § 1 и 2 гл. 4, но для того, чтобы сформулировать и доказать основную теорему нашей теории, и для выяснения связи между циклическими классами и циклическими отображениями нам потребуются оба эти понятия в их естественной алгебраической общности.

На изображенной на рис. 46 диаграмме указаны все включения 16 циклических классов n-угольников, которые получаются, если к 8 свободным циклическим класг сам присоединить соответствующие им центральные классы (по поводу обозначений см. § 1 гл. 4).

Замечание 1. Пусть снова — изобарическое циклическое отображение. Как следует из (4), содержит класс тривиальных n-угольников Значит, если является циклическим классом, то обязательно свободным. Равенство выполняется уже для всякого отображения множества в

себя; для оно имеет вид

[см. формулу (2)]. Из теоремы 2 следует такое

Правило. Если — изобарическое отображение и то (Здесь в — свободный циклический класс.)

Замечание 2. Два подпространства векторного пространства называются взаимно дополнительными, если

Из двух взаимно дополнительных циклических классов один всегда свободный, другой — центральный. Действительно, два свободных циклических класса не могут быть взаимно дополнительными, так как их пересечение содержит по меньшей мере класс тривиальных n-угольников; два центральных класса также не могут быть взаимно дополнительными, так как их сумма не выходит за пределы нуль-изобарического класса.

Упражнения

(см. скан)