§ 6. Степень свободы циклического класса

Как мы уже отмечали, циклический класс параллелограммов обладает следующим свойством: всякие три точки могут быть единственным образом дополнены до параллелограмма: Можно сказать, что этот циклический класс обладает тремя степенями свободы (или что его степень свободы равна 3).

Дадим общее определение. Циклический класс n-угольников имеет степень (свободы) если -максимальное число произвольно взятых точек которые могут быть единственным образом дополнен до n-угольника класса Степень циклического класса обозначается

На рис. 18 числа под циклическими классами обозначают их степени свободы. Для периодических классов,

очевидно, ибо при многократном прохождении одного и того же многоугольника его степень, очевидно, не меняется.

Рассмотрим теперь циклическую систему (2), задаваемую набором коэффициентов Запись (2) для линейной системы необычна; перепишем ее в более привычной форме:

Теперь легко выписать матрицу коэффициентов этой системы:

Каждая строка матрицы содержит одни и те же элементы, только от строки к строке их совокупность циклически сдвигается на один элемент вправо. Такие матрицы называются циклическими.

Предположим, что первые строк этой матрицы линейно независимы, а строка является их линейной комбинацией. Тогда всякая следующая строка является той же линейной комбинацией предыдущих. Итак, последовательных строк матрицы являются максимальной линейно независимой системой, следовательно, ранг матрицы равен Из теории систем линейных однородных уравнений следует, что в этом случае произвольно заданных последовательных точек могут быть единственным образом дополнены до решения системы. Отсюда следует

Теорема 2. Степень свободы циклического класса, заданного набором равна

Упражнение. Пусть Тогда и если циклический класс, такой, что