§ 2. Циклические классы, определенные многочленами деления круга

В гл. 8 мы говорили о циклических классах n-угольников, определенных многочленами деления круга где и прежде всего о классе, определенном многочленом При это есть класс всех n-угольников.

Теорема 2. Пусть Циклический класс n-угольников, определенный многочленом состоит из -правильных n-угольников с центром тяжести о:

Доказательство. Из многочленов (см. § 4 гл. 8) образуем булеву сумму (см. § 1 гл. 5)

На первообразных корнях степени из единицы многочлен (4) принимает значение 0, а на остальных 1. Действительно, на первообразных корнях каждое слагаемое равно 0, а на корнях степени из единицы, где слагаемое равно 1, следовательно, и булева сумма равна 1.

Рассмотрим систему равенств

Справедливость первого равенства следует из того, что и из теоремы гл. 8; справедливость второго — из правила (18) гл. 5 и, наконец, третьего — из § 3 гл. 4.

Теорема определяет класс тривиальных n-угольникое; где класс раз пройденных -правильных n-угольников с центром тяжести о:

Доказательство. Первая из формул (5) нам уже известна (см. § 3 гл. 6). Пусть теперь В силу теоремы определяет класс -правильных n-угольников по лемме из § 4 гл. 8 тот же многочлен определяет класс n-угольников

Каждому делителю соответствует свой класс его степень свободы равна (см. теорему 5 гл. 9) степени определяющего многочлена следовательно, значению функции Эйлера Отсюда следует, между прочим, что класс -правильных n-угольников при имеет степень свободы

Поскольку произведение многочленов деления круга равно и они попарно взаимно просты, то, согласно теореме 5 гл. является прямой суммой циклических классов (5).

Если то многочлены старшие коэффициенты равны 1) являются простыми делителями Поэтому классы (5) являются атомарными циклическими классами (теорема 5 гл. 8; ср. § 3 гл. 6).

Теорема 4. При атомарными циклическими классами n-угольников являются класс тривиальных n-угольников и классы раз пройденных -правильных n-угольникое с центром тяжести включая (при

класс -правильных n-угольников с центром тяжести .

Пример: . Существует шесть атомарных циклических классов 12-угольников:

тривиальные 12-угольники,

шестикратно пройденные 2-угольннкн с центром тяжести ,

четырехкратно пройденные 3-угольники с центром тяжести ,

трижды пройденные параллелограммы с центром тяжести ,

дважды пройденные аффинно-правильные n-угольники с центром тяжести ,

-правильные 12-угольники с центром тяжести .

Выясним, что представляют собой -правильные n-угольники. Многочлену соответствует циклическая система распадается на две системы — с нечетными и четными индексами,— каждая из которых определяет аффинно-правильные n-угольники. Итак, -правильными являются n-угольники, оба хордовых n-угольника которых аффинно-пра-вильны и изобаричны.