§ 4. Три крайних случая булевых алгебр циклических классов n-угольников

Пусть, как и прежде, натуральное число, К. — некоторое поле и -векторное пространство над ним, удовлетворяющее требованиям § 1 гл. 1. Обозначим через булеву алгебру n-угольников из V [см. основную теорему § 2 гл. 6]; она изоморфна структуре делителей многочлена в [фундаментальный изоморфизм (4)]. Отсюда следует, что при фиксированном К все булевы алгебры независимо от V изоморфны между собой. В частности, только от К зависит число атомарных классов алгебры равное числу простых делителей Обозначим его через Тогда число циклических классов в (тоже независимо от выбора V) равно

Обозначим через степени простых делителей Тогда

[Так как всегда делит будем считать, что а при четном поскольку ] В силу изоморфизма (4) и теоремы 5 гл. 9 числа являются также степенями свободы атомарных циклических классов в

Для любого поля циклических классов, определенных всеми частичными произведениями, входящими в произведение

образуют булеву подалгебру (всегда присутствующие циклические классы n-угольников). Случай совпадения (минимальный случай) имеет место тогда и только тогда, когда (22) является разложением на простые множители, т. е. когда

Вообще,

и максимальный случай

имеет место тогда и только тогда, когда разлагается на линейные множители. Равенство (21) принимает в случае 1) вид а в случае 2) вид Вопрос о том, как выглядят в обоих случаях атомарные циклические классы, обсуждался в гл. 10 и 11.

Теперь появляется еще одна булева подалгебра подалгебра симметрических циклических классов n-угольников (теорема 1). Эти классы определяются симметрическими или кососимметрическими делителями многочлена в (теорема 2); поэтому их число не зависит от Если через обозначить число атомарных циклических классов в то общее число классов в этой подалгебре будет равно

«Всегда присутствующие» циклические классы n-угольников симметричны (см. конец § 1): Отсюда следует, что Если принимает наименьшее возможное значение то это означает, что многочлены деления круга не имеют в ни одного нетривиального симметрического или кососимметрического делителя. В этом случае

Число принимает наибольшее возможное значение тогда и только тогда, когда разлагается в на симметрические и кососимметрические множители степеней 1 и 2. В этом случае равенство (21) принимает вид

следовательно, Это тот случай, о котором говорилось в конце § 3. В общем случае справедливо неравенство

При этом является булевой подалгеброй алгебры , следовательно, . Остановимся на случаях, когда т. е. когда всякий циклический класс является симметрическим. Очевидно, что для этого достаточно потребовать, чтобы симметрическими были атомарные классы в структуре делителей многочлена из эквивалентным является условие, чтобы всякий делитель был симметрическим или кососимметрическим; для этого достаточно потребовать, чтобы такими были простые делители

Здесь мы также рассмотрим два крайних случая. Первый:

и, следовательно, совпадает с уже знакомым случаем 1). Остается

Если при любом имеет место случай 1), то соответствующее поле К обладает следующим свойством: всякий многочлен деления круга в нем неприводим. Если при любом имеет место случай 2), то поле К содержит все корни любой степени из 1. Если при любом имеет место случай 3), то поле К таково, что всякий многочлен деления круга, за исключением разлагается на неприводимые квадратичные симметрические множители. Мы хотим показать, что свойством обладают максимальные упорядоченные поля.