§ 4. Три крайних случая булевых алгебр циклических классов n-угольников
Пусть, как и прежде,
натуральное число, К. — некоторое поле и
-векторное пространство над ним, удовлетворяющее требованиям § 1 гл. 1. Обозначим через
булеву алгебру n-угольников из V [см. основную теорему § 2 гл. 6]; она изоморфна структуре делителей многочлена
в
[фундаментальный изоморфизм (4)]. Отсюда следует, что при фиксированном К все булевы алгебры
независимо от V изоморфны между собой. В частности, только от К зависит число атомарных классов алгебры
равное числу простых делителей
Обозначим его через
Тогда число циклических классов в
(тоже независимо от выбора V) равно
Обозначим через
степени простых делителей
Тогда
[Так как
всегда делит
будем считать, что
а при четном
поскольку
] В силу изоморфизма (4) и теоремы 5 гл. 9 числа
являются также степенями свободы атомарных циклических классов в
Для любого поля
циклических классов, определенных всеми частичными произведениями, входящими в произведение
образуют булеву подалгебру
(всегда присутствующие циклические классы n-угольников). Случай совпадения
(минимальный случай) имеет место тогда и только тогда, когда (22) является разложением
на простые множители, т. е. когда
Вообще,
При этом
является булевой подалгеброй алгебры
, следовательно,
. Остановимся на случаях, когда
т. е. когда всякий циклический класс является симметрическим. Очевидно, что для этого достаточно потребовать, чтобы симметрическими были атомарные классы в
структуре делителей многочлена из
эквивалентным является условие, чтобы всякий делитель был симметрическим или кососимметрическим; для этого достаточно потребовать, чтобы такими были простые делители
Здесь мы также рассмотрим два крайних случая. Первый:
и, следовательно, совпадает с уже знакомым случаем 1). Остается
Если при любом
имеет место случай 1), то соответствующее поле К обладает следующим свойством: всякий многочлен деления круга в нем неприводим. Если при любом
имеет место случай 2), то поле К содержит все корни любой степени из 1. Если при любом
имеет место случай 3), то поле К таково, что всякий многочлен деления круга, за исключением
разлагается на неприводимые квадратичные симметрические множители. Мы хотим показать, что
свойством обладают максимальные упорядоченные поля.