§ 8. Примеры циклических классов

Здесь мы ограничимся лишь примерами свободных циклических классов, выделяемых в множествах n-угольников при тех или иных фиксированных значениях Отношение принадлежности между этими классами, которое будет нас особенно интересовать, мы условимся схематически изображать на графических схемах или диаграммах следующим образом: если в диаграмме два циклических класса соединены наклонным или вертикальным отрезком, то класс, находящийся ниже, включается в верхний, принадлежащий тому же отрезку.

Рис. 19.

Рис. 20.

Число под классом обозначает степень свободы этого класса.

Заметим, что мы не стремимся указать здесь полный набор всех циклических классов, даже для малых Вопросами полноты мы будем заниматься несколько позднее.

a) (простое число). Нам уже известны свободные циклические классы (рис. 19). Этим исчерпывается множество периодических классов n-угольников, так как имеет только тривиальные делители и 1.

b) . Существуют три периодических класса: (класс дважды пройденных отрезков), прибавим к ним еще циклический класс параллелограммов,

при этом мы придем к диаграмме, изображенной на рис. 20.

с) . Во введении уже упоминались -парал-лелограммы, для которых векторная сумма противоположных пар сторон равна нулю; они, очевидно, определяются циклической системой

Эквивалентным является требование совпадения середин отрезков, соединяющих пары противоположных вершин:

Класс -параллелограммов имеет степень На рис. 21 изображен один специальный -параллелограмм.

4-параллелограммы являются также n-угольниками, знакопеременная сумма вершин которых равна (см. равенство на стр" 19). Это условие позволяет также выделить определенный циклический класс n-угольни-ков, задаваемый циклической системой

Все уравнения этой системы совпадают с первым уравнением, откуда следует, что рассматриваемый класс имеет степень Этот циклический класс мы будем называть АСО-классом (буквы напоминают нам, что здесь «Альтернированная (знакопеременная) Сумма (вершин) — Нуль»), Таким образом, получена

Теорема 3. Множество -параллелограммов и множество n-угольников класса суть циклические классы n-угольников.

При оба эти циклических класса совпадают. Это совпадение имеет место только при так как лишь при степени этих классов одинаковы: следует, что

При справедлива

Теорема 4. Всякий -параллелограмм одновременно является АСО-многоугольником.

(кликните для просмотра скана)

Доказательство. Если есть -параллелограмм, то параллелограммы, откуда уже следует его принадлежность классу То же рассуждение проходит и в общем случае.

d) . Имеется четыре периодических класса: (класс дважды пройденных треугольников), (класс трижды пройденных отрезков), а также, согласно теореме 3, класс -параллелограммов (рис. 22) и АСО-класс (рис. 23).

Во введении указан еще один вид n-угольников — призмы (рис. 24). Расположим вершины произвольного n-угольника в таблицу

в которой индексы по строкам отличаются на две, а по столбцам — на три единицы. Тогда призму можно будет определить как такой n-угольник, для которого в V существует параллельный перенос, переводящий точки первой строки таблицы в соответствующие точки второй строки. Циклическая система показывает, что множество призм является циклическим классом.

6-угольник называется аффинно-правильным, если в V существует такая точка, которая дополняет каждые три последовательные вершины n-угольника до параллелограмма (рис. 25). Множество аффинно-правильных n-угольников (обозначим его через также является циклическим классом, так как оно может быть задано циклической системой

В диаграмме (см. рис. 26) указаны включения, существующие между восемью циклическими классами n-угольников. Если из одного класса диаграммы исходят два поднимающихся вверх отрезка, то каждый раз можно убедиться, что соответствующий класс является пересечением вышестоящих. В качестве примера покажем, что справедлива

Теорема 5. Аффинно-правильные n-угольники суть -па-раллелограммы с нулевой знакопеременной суммой вершин,

Рис. 26.

Для доказательства заметим, что и аффинно-правильный 6-угольник следующим образом определяются с помощью четвертой вершины последовательных вершин

АСО-6-угольники суть 6-угольники, для которых

6-параллелограммы суть n-угольники, для которых

аффинно-правильные n-угольники суть n-угольники, для которых

Отсюда сразу вытекает справедливость нашего предложения.

Отметим еще одно свойство степеней свободы: в изображенной на рис. 26 диаграмме имеются отрезки трех разных направлений, и вдоль отрезков каждого фиксированного направления разность степеней постоянна, причем сумма этих трех разностей равна разности между максимальной и минимальной степенями классов диаграммы.

Рис. 27.

Случай есть первый действительно интересный пример развиваемой нами теории, и мы рекомендуем его читателю в качестве «самого главного» примера.

е) . Наряду с четырьмя периодическими классами 2 (класс дважды пройденных n-угольников), 4 (класс четырежды пройденных отрезков) и 8 здесь имеются также (теорема 3) класс -параллелограммов и класс. Из теоремы 4 следует, что АСО-класс охватывает класс -параллелограммов.

Далее, дважды пройденные параллелограммы составляют циклический класс, входящий в 2; он определяется системой

Кроме того, отметим множество n-угольников, для которых оба хордовых четырехугольника (образованных вершинами, взятыми через одну) являются параллелограммами (рис. 27); это множество также является циклическим

классом, определенным системой

В диаграмме (рис. 28) этот класс не назван, а лишь отмечен точкой, под которой стоит цифра -степень рассматриваемого класса.

Рис. 28.

Диаграмма классов n-угольников отличается от диаграммы восьми классов n-угольников: периодические классы образуют в ней цепочку, призмы и аффинно-правильные n-угольники отсутствуют. Классы дважды пройденных n-угольников образуют поддиаграмму нашей диаграммы, совпадающую с диаграммой n-угольннков.

f) . Легко указать восемь циклических классов, аналогичных классам n-угольников.

Вместо аффинно-правильных -уголышков здесь появляется класс, определенный системой

Этой системе удовлетворяют обыкновенные правильные n-угольники евклидовой плоскости и их аффинные образы (докажите!). Однако на рис. 29 показан 10-угольник этого класса, отнюдь не являющийся аффинно-правильным. Этот циклический класс имеет степень 5; максимальная размерность входящих в него n-угольников равна 4 (если размерность V не менее 4).

Общим свойством для 6, 8, 10 является то, что эти числа имеют по 4 делителя.

g) . Число 12 имеет 6 делителей; этот факт сильно увеличивает число свободных циклических классов.

1)-6) суть периодические классы n-угольников, отвечающие делителям .

7)-11). Класс трижды пройденных параллелограммов определяется набором 12 чисел Дважды пройденные n-угольники классов АСО-6-параллелограммов, призм и аффинно-правильных n-угольников образуют еще четыре циклических класса, отличных от вышеуказанных. Если набор коэффициентов, определяющих один из классов n-угольников, то соответствующий класс n-угольников определяется набором

Рис. 29.

12) —16). Дальнейшие циклические классы получим путем наложения условий на хордовые n-угольники (см. § 5). Те 12-угольники, у которых три хордовых -уголышка являются параллелограммами, образуют циклический класс, определяемый набором (1, 0, 0, —1, 0, 0, 1, 0, 0, —1, 0, 0). Аналогично n-угольники,

(кликните для просмотра скана)

у которых хордовые n-угольники принадлежат циклическим классам -параллелэграммэв, призм и аффинно-правильных n-угольников, образуют циклические классы. Если набор, определяющий рассматриваемый класс 6-угольников, то соответствующий класс n-угольников определяется набором . «Мальтийский крест», изображенный на рис. 30, есть n-угольник, в котором оба хордовых n-угольника аффинно-правильны.

17) — 20). Другое требование, которое можно наложить на хордовые n-угольники, — это требование их изобаричности. Для получается четыре циклических класса n-угольников. Если изобаричны хордовые n-угольники (пары противоположных вершин), то получаем -параллелограммы; если изобаричны хордовые n-угольники, то получаем АСО-12-угольники.

В мальтийском кресте оба аффинно-правильных хордовых n-угольника — и даже вообще все хордовые n-угольники—изобаричны.

21). Расположим вершины n-угольника в таблицу

где индексы по горизонтали возрастают на три, а по вертикали — на четыре единицы (по модулю 12). Потребуем, чтобы существовали параллельные переносы, переводящие точки одной строки в соответствующие точки любой другой. Легко видеть, что это требование совпадает с аналогичным требованием для столбцов; n-угольники, удовлетворяющие этому требованию, назовем -призмами. Очевидно, множество -призм определяется циклической системой

и потому является циклическим классом.

Читателю предоставляется возможность определить дальнейшие циклические классы n-угольников и расположить их в диаграмму (рис. 31).

Упражнения

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)