Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 8. Примеры циклических классовЗдесь мы ограничимся лишь примерами свободных циклических классов, выделяемых в множествах n-угольников при тех или иных фиксированных значениях
Рис. 19.
Рис. 20. Число под классом обозначает степень свободы этого класса. Заметим, что мы не стремимся указать здесь полный набор всех циклических классов, даже для малых a) b) при этом мы придем к диаграмме, изображенной на рис. 20. с)
Эквивалентным является требование совпадения середин отрезков, соединяющих пары противоположных вершин:
Класс 4-параллелограммы являются также n-угольниками, знакопеременная сумма вершин которых равна
Все уравнения этой системы совпадают с первым уравнением, откуда следует, что рассматриваемый класс имеет степень Теорема 3. Множество При При Теорема 4. Всякий (кликните для просмотра скана) Доказательство. Если d) Во введении указан еще один вид n-угольников — призмы (рис. 24). Расположим вершины произвольного n-угольника в таблицу
в которой индексы по строкам отличаются на две, а по столбцам — на три единицы. Тогда призму можно будет определить как такой n-угольник, для которого в V существует параллельный перенос, переводящий точки первой строки таблицы в соответствующие точки второй строки. Циклическая система 6-угольник называется аффинно-правильным, если в V существует такая точка, которая дополняет каждые три последовательные вершины n-угольника до параллелограмма (рис. 25). Множество аффинно-правильных n-угольников (обозначим его через
В диаграмме (см. рис. 26) указаны включения, существующие между восемью циклическими классами n-угольников. Если из одного класса диаграммы исходят два поднимающихся вверх отрезка, то каждый раз можно убедиться, что соответствующий класс является пересечением вышестоящих. В качестве примера покажем, что справедлива Теорема 5. Аффинно-правильные n-угольники суть
Рис. 26. Для доказательства заметим, что АСО-6-угольники суть 6-угольники, для которых
6-параллелограммы суть n-угольники, для которых
аффинно-правильные n-угольники суть n-угольники, для которых
Отсюда сразу вытекает справедливость нашего предложения. Отметим еще одно свойство степеней свободы: в изображенной на рис. 26 диаграмме имеются отрезки трех разных направлений, и вдоль отрезков каждого фиксированного направления разность степеней постоянна, причем сумма этих трех разностей равна разности между максимальной и минимальной степенями классов диаграммы.
Рис. 27. Случай е) Далее, дважды пройденные параллелограммы составляют циклический класс, входящий в 2; он определяется системой
Кроме того, отметим множество n-угольников, для которых оба хордовых четырехугольника (образованных вершинами, взятыми через одну) являются параллелограммами (рис. 27); это множество также является циклическим классом, определенным системой
В диаграмме (рис. 28) этот класс не назван, а лишь отмечен точкой, под которой стоит цифра
Рис. 28. Диаграмма классов n-угольников отличается от диаграммы восьми классов n-угольников: периодические классы образуют в ней цепочку, призмы и аффинно-правильные n-угольники отсутствуют. Классы дважды пройденных n-угольников образуют поддиаграмму нашей диаграммы, совпадающую с диаграммой n-угольннков. f) Вместо аффинно-правильных
Этой системе удовлетворяют обыкновенные правильные n-угольники евклидовой плоскости и их аффинные образы (докажите!). Однако на рис. 29 показан 10-угольник этого класса, отнюдь не являющийся аффинно-правильным. Этот циклический класс имеет степень 5; максимальная размерность входящих в него n-угольников равна 4 (если размерность V не менее 4). Общим свойством для 6, 8, 10 является то, что эти числа имеют по 4 делителя. g) 1)-6) суть периодические классы n-угольников, отвечающие делителям 7)-11). Класс трижды пройденных параллелограммов определяется набором 12 чисел
Рис. 29. 12) —16). Дальнейшие циклические классы получим путем наложения условий на хордовые n-угольники (см. § 5). Те 12-угольники, у которых три хордовых (кликните для просмотра скана) у которых хордовые n-угольники принадлежат циклическим классам 17) — 20). Другое требование, которое можно наложить на хордовые n-угольники, — это требование их изобаричности. Для В мальтийском кресте оба аффинно-правильных хордовых n-угольника — и даже вообще все хордовые n-угольники—изобаричны. 21). Расположим вершины n-угольника в таблицу
где индексы по горизонтали возрастают на три, а по вертикали — на четыре единицы (по модулю 12). Потребуем, чтобы существовали параллельные переносы, переводящие точки одной строки в соответствующие точки любой другой. Легко видеть, что это требование совпадает с аналогичным требованием для столбцов; n-угольники, удовлетворяющие этому требованию, назовем
и потому является циклическим классом. Читателю предоставляется возможность определить дальнейшие циклические классы n-угольников и расположить их в диаграмму (рис. 31). Упражнения(см. скан) (кликните для просмотра скана)
|
1 |
Оглавление
|