§ 5. Вещественные компоненты n-угольника

Лемма. Упорядоченное поле не содержит никаких других корней из 1, кроме 1 и —1.

Доказательство. Пусть -упорядоченное поле. Нужно показать, что никакой многочлен не имеет в К корней, отличных от 1 и —1. Пусть сначала «четно. Так как в разложении

третий сомножитель положительно определен, то корнями в К являются только +1 и —1. Если и нечетно, то является делителем и потому имеет не больше чем два корня: +1 и —1; но так как то остается один корень

Пусть теперь -максимальное упорядоченное поле. Тогда неприводимыми многочленами в являются, как известно, линейные и знакоопределенные квадратичные многочлены. При многочлены деления круга не имеют делителей поэтому в силу леммы разлагаются только на знакоопределенные квадратичные множители. Покажем, что они симметричны.

Пусть такой делитель; тогда является корнем степени из 1. В силу леммы или —1. Если то при принимает значения разных знаков очевидно, что что противоречит знакоопределенности многочлена Итак, и симметричен. Отсюда следует, что разложение многочлена на простые множители имеет вид (19) (в обозначениях леммы из § 3), а разложение на атомарные циклические классы имеет вид (20). Сформулируем полученные результаты:

Теорема 9. Пусть -максимальное упорядоченное поле. Для заданного над К, кроме класса тривиальных n-угольников, существует если нечетно, и, если четно, атомарных циклических классов n-угольников. Эти классы состоят или из аффинно-правильных n-угольников с центром тяжести о, или из кратно пройденных аффинно-правильных n-угольников с центром тяжести о, где пробегает множество всех нетривиальных делителей Все циклические классы n-угольников симметричны.

Если К является полем вещественных чисел то число с из леммы § 3 равно сумме двух взаимно обратных

первообразных корней степени из 1:

а вычисляются по формуле

Для разложение на простые множители, а значит, и разложение на атомарные циклические классы над и над совпадают.

Рис. 92.

Рис. 93.

В этих случаях над существуют только те циклические классы, которые существуют над Для атомарными над являются класс тривиальных n-угольников и класс всех n-угольников с центром тяжести о. Над последний класс разлагается в прямую сумму двух атомарных аффинно-правильных центральных классов, определенных циклическими системами

В частности, на вещественной аффинной плоскости всякий n-угольник с центром тяжести о однозначно разлагается в сумму аффинно-правильного

n-угольника с центром тяжести и аффинно-правильной n-угольной звезды с центром тяжести о (рис. 94).

Разложение (19), тривиальное при при существует над всяким полем К, удовлетворяющим условиям: разлагается в на квадратичные симметрические множители не обязательно простые.

Рис. 94.

Тогда существует и разложение (20); при этом слагаемые — класс тривиальных n-угольников и центральные симметрические классы степеней 1 и 2 — являются атомарными, вообще говоря только в булевой алгебре симметрических циклических классов n-угольников.

Назовем вещественными компонентами n-угольника А компоненты, входящие в классы разложения (20). При рациональные, вещественные и комплексные компоненты n-угольника совпадают. При совпадают рациональные и вещественные компоненты.

Итак, вещественными компонентами n-угольника являются аффинно-правильные n-угольники или многократно пройденные аффинно-правильные n-угольники, где собственный делитель кроме тривиального n-угольника центра тяжести, все остальные компоненты имеют центр тяжести .

В связи с введенными в этой главе понятиями возникает ряд проблем. Например, было бы интересно выяснить соотношение между понятием аффинно-правильных n-угольников, введенным в § 3, и обычными аффинными образами правильных n-угольников. Но у всякой книги должен быть конец, и мы считаем возможным здесь остановиться.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)