§ 3. Простые делители многочлена х^n-1 и атомарные циклические классы

Пусть произвольный простой делитель Тогда циклическое отображение, с которым ассоциирована циклическая проекция (см. замечание в конце § 1). Равенство (12) принимает вид

Отсюда следует, что ядро циклического отображения является атомарным циклическим классом.

Так как вообще ядро циклического отображения является пространством решений циклической системы. (см, § 2 гл. 2), то наш вывод можно переформулировать следующим образом:

Теорема 8. Циклическая система уравнений, -набор коэффициентов которой совпадает с -набором коэффициентов простого делителя многочлена описывает атомарный циклический класс n-угольников.

Под -набором коэффициентов собственного делителя многочлена подразумевается набор Положим по определению, что отвечающий многочлену как делителю самого себя -набор есть Последнее соглашение надо учитывать только в простом случае

Как говорилось ранее, существует единственный свободный атомарный циклический класс — класс тривиальных n-угольников; все же остальные атомарные классы — центральные (ср. с заметкой о сложении n-угольников в конце гл. 3).

Класс тривиальных n-угольников соответствует простому делителю многочлена Действительно, при набор коэффициентов имеет вид ; соответствующая циклическая система

определяет класс тривиальных n-угольников. [При многочлен не является собственным делителем; в силу соглашения его -набор коэффициентов является «нулевым набором» (0); здесь каждый n-угольник удовлетворяет соответствующей системе которая определяет класс всех n-угольников, совпадающий с классом тривиальных n-угольников.]

Положим Тот факт, что остальные определяют центральные классы, легко усмотреть также из следующих соображений: имеем при получаем

Но это сумма коэффициентов многочлена Итак, сумма коэффициентов циклического отображения отлична от нуля, и задаваемая этим набором коэффициентов циклическая система определяет центральный класс (см. теорему 1 гл. 1).

Если пронормировать все многочлены где 1, умножив их на то подстановка приведет к изобарическим циклическим отображениям с теми же ядрами, что и

Если — поле рациональных чисел), то простыми делителями являются многочлены деления круга где они и определяют атпмяпные циклические классы.

Пример: этом случае

Циклические системы с нормированными наборами коэффициентов для имеют вид

Они определяют (как видно непосредственно из уравнений) соответственно класс трижды пройденных n-угольников с центром тяжести о, класс дважды пройденных n-угольников с центром тяжести о и класс аффинно-правильных n-угольников с центром тяжести Вместе с классом тривиальных n-угольников эти классы образуют полный набор атомарных циклических классов. Циклическими отображениями, которые получаются подстановкой в нормированные многочлены являются

т. е. в точности те отображения, которые рассматривались в гл. 2 в связи с изучением возможных классов n-угольников.

Упражнения

(см. скан)