ГЛАВА 11. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)

§ 1. Булевы алгебры ...

Пусть выполнены все предположения § 1 гл. 1. Напомним, что через обозначается кольцо многочленов над полем многочлен свободен от квадратов, — число простых делителей многочлена в структура делителей является булевой алгеброй с элементами (см. § 2 гл. 6).

Подстановка индуцирует гомоморфизм на алгебру циклических отображений

Ядро этого гомоморфизма есть идеал, порожденный многочленом [Действительно, ; но если то так как независимы (см. теорему 4 гл. 2).] Отсюда следует, что

При этом изоморфизме

в частности, смежный класс х переходит в Итак, имеет место

Теорема 1. Алгебра циклических отображений изоморфна факторкольцу кольца главных идеалов по свободному от квадратов идеалу

Если разложение многочлена на простые множители в имеет вид

то

(см. следствие из теоремы 4" гл. 7); слагаемые в правой части являются полями.

Теорема 1. является прямой суммой полей.

Напомним важные следствия из этих теорем: 1) булева алгебра циклических проекций имеет точно элементов; 2) всякий идеал в является главным, порожденным некоторой циклической проекцией (см. § 3 гл. 7).

Структуры (§ 5 гл. 7) в нашем случае принимают вид

(Напомним, что это просто второй экземпляр Все эти структуры являются булевыми алгебрами. Между ними существуют изоморфизмы или антиизоморфизмы (теоремы 5 и 6 гл. 7), переводящие каждый элемент одной из этих алгебр в единственный соответствующий ему элемент любой другой из них.

Мы хотим описать действие этих отображений. Для этого введем следующие обозначения: произвольный делитель многочлена дополнительный к нему делитель, так что -многочлен, идемпотентный по модулю отвечающая циклическая проекция.

Система сравнений

имеет единственное по модулю решение, т. е. существует единственный многочлен степени удовлетворяющий этой системе. Это решение идемпотентно

по модулю (теорема 4 гл. 7); обозначим его через

Как и раньше, чтобы избежать антиизоморфизмов, заменим булевы алгебры двойственными к ним алгебрами Итак, мы будем рассматривать булевы алгебры

и отображения

[Обозначения будут в дальнейшем употребляться именно в этом, специализированном по сравнению с гл. Согласно теоремам 5 и 6 гл. 7, имеет место

Теорема 2. Структуры являются булевыми алгебрами из элементов; они связаны указанными выше изоморфизмами.

Произведения отображений совпадают в силу правила из § 5 гл. 7:

Таким образом, отображения образуют цикл изоморфизмов: их произведение является тождественным автоморфизмом (рис. 59).

Нахождение образа нетривиально лишь для последнего из отображений теоремы 2. Для заданного делителя многочлена здесь требуется найти многочлен Мы укажем явное выражение для через производную

Рис. 59.

Теорема 3 [дифференциальное выражение для Если -делитель то многочлен

удовлетворяет сравнениям (6) и (7), так же как многочлен

степени

Доказательство. Очевидно, многочлен (9) удовлетворяет сравнению (7). Для проверки сравнения (6) продифференцируем обе части равенства и умножим результат на

Первое слагаемое а правая часть [поскольку ибо Отсюда следует (6).

Старший член многочлена (9) равен Поэтому степень многочлена (10), сравнимого с будет что и доказывает теорему. В силу теоремы 3

Пример. Для делителей циклическими проекциями являются .

Теперь мы можем указать решение следующей задачи: для данного циклического отображения найти циклическую проекцию, порождающую в тот же идеал, что

Во-первых, найдем, хотя бы с помощью алгоритма Евклида, многочленов Обозначим его через По лемме § 5 гл. 7 Искомая циклическая проекция, согласно (8), находится по теореме 3. Из теоремы 5 гл. 6 следует

Теорема 4. Если циклическое отображение и то

является циклической проекцией, имеющей с отображениями одинаковые образ и ядро.

Отображение является изоморфизмом. Поэтому элементу дополнительному в структуре оно

ставит в соответствие циклическую проекцию дополнительную в структуре Следовательно, в силу (11)

Упражнение. Определите идемпотентные по модулю многочлены степени из для и 6.