§ 4. Многочлены деления круга над простыми конечными полями

Пусть заданы натуральное число и простое не делящее Порядком числа по модулю называется минимальное натуральное число для которого [обозначается Согласно малой теореме Ферма,

Многочлены деления круга, неприводимые над простым полем характеристики 0, могут не обладать этим свойством над полями конечной характеристики.

Пример. Все отличных от нуля элементов простого поля характеристики являются корнями степени из 1. Отсюда следует, что над простым полем характеристики всякий многочлен деления круга с индексом делящим разлагается на линейные множители. Так, для

Условие делит означает, что Вообще, справедлива

Теорема, поле деления круга характеристики имеет над своим простым полем степень

Доказательство. Пусть К. есть поле деления круга характеристики и — степень К над его простым подполем. Тогда -конечное поле, содержащее элементов. Мультипликативная группа любого поля из элементов натуральное число) является циклической

группой порядка Поле К является минимальным конечным расширением простого поля, таким, что его мультипликативная группа содержит подгруппу корней степени из 1, имеющую порядок Известно, что конечная циклическая группа содержит подгруппу порядка тогда и только тогда, когда ее порядок делится на Итак, - минимальное из чисел которые делятся на или — минимальное из чисел таких, что а это означает, что

Из этой теоремы следует, что всякий первообразный корень степени из 1 является алгебраическим элементом порядка над простым полем.

Следствие. Над простым полем характеристики многочлен деления круга является произведением попарно не ассоциированных неприводимых. многочленов степени Число неприводимых сомножителей в разложении равно

Упражнения (Здесь рассматриваются многочлены деления круга над конечным простым полем характеристики

(см. скан)