ГЛАВА 3. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

Понятие булевой алгебры и остальные необходимые нам понятия из теории структур содержатся в приложении II, которое и рекомендуется просмотреть, прежде чем приступить к этой главе.

§ 1. Идемпотентные элементы кольца

Пусть коммутативное кольцо с элементами Элемент а называется идемпотентным, если Множество идемпотентных элементов из обозначим через Оно содержит нулевой элемент и вместе с элементами всегда содержит но не обязательно а

Для любых элементов из определим присоединенное произведение):

Введенное таким образом умножение элементов кольца коммутативно и ассоциативно, его единицей является О кольца. Два элемента называются взаимно ортогональными, если их (обычное!) произведение равно 0. Для взаимно ортогональных элементов Если то и в частности, в этом случае

является дистрибутивной структурой. Действительно, легко проверить, что для этих операций справедливы законы дистрибутивности и поглощения (остальные аксиомы структуры очевидны).

С помощью операций в множестве элементов можно ввести отношение мы будем писать если или, что эквивалентно, При этом оказывается наименьшим элементом Таким образом, операции можно понимать как структурные максимум и минимум (см. приложение II).

Если кольцо содержит единицу, то она является наибольшим элементом в Отображение кольца взаимно однозначно и инволютивно. Если а то при этом справедливы равенства

т. е. а и суть взаимно дополнительные элементы структуры

Итак, — дистрибутивная структура с дополнениями, булева алгебра.

Теорема 1. Идемпотентные элементы коммутативного кольца с единицей образуют булеву алгебру по отношению к операциям

Далее присоединенное умножение о мы будем называть булевым сложением.

Заметим, что отображение 1 — переставляет операции Действительно, для любых

Положим 1—а тогда равенства (3) примут вид

Примеры к теореме 1.

1. В области целостности с 1 (в частности, в поле) - единственные идемпотентные элементы. Действительно, из а следует а так как не имеет делителей нуля, то или .

2. Идемпотентами кольца классов вычетов являются 0, 1,6, 10, 15, 16, 21, 25. На рис. 50 наглядно изображена булева алгебра

3. Пусть — поля; есть множество - наборов

в котором сложение и умножение определяются покомпонентно. Здесь состоит из 2 элементов вида (4), где все Элементы

(их число равно атомарны в Произведение двух различных элементов из них равно нулевому элементу следовательно, они «взаимно ортогональны».

Рис. 50.

Булева сумма элементов (5) является обычной суммой и равна единичному элементу кольца [Пример 2 можно рассматривать как частный случай этого примера.]

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)