ГЛАВА 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)

§ 1. Соответствие Галуа между аннуляторами и ядрами

Прежде всего напомним известные факты.

Лемма. Пусть множества; отображение а отображение такие, что

Тогда есть взаимно однозначное отображение на обратно к

Действительно, взаимно однозначно: если то согласно 1), Кроме того, является отображением на: в силу 2) любой элемент является -образом элемента

Пусть, как и раньше, кольцо с единицей, А — некоторый -модуль (см. § 1 гл. 7). Говорят, что аннулирует а если

Аннулятором подмножества из А называется множество элементов кольца аннулирующих любой элемент этого подмножества.

Если некоторый -подмодуль А, то его аннулятор

является идеалом в Обратно, пусть - идеал в Ядром этого идеала называется множество элементов из А, аннулирующихся всеми элементами из

оно является -подмодулем в А.

Если суть идеалы из суть -подмо-дули А, то

Утверждения (1) — (4) очевидны. Докажем (5): здесь включение получается, если в (3) положить обратное включение следует из (4) и (2). Утверждение (6) доказывается аналогично.

Множество идеалов кольца которые являются аннуляторами -подмодулей обозначим

а множество -подмодулей являющихся ядрами идеалов кольца обозначим :

Для всякого идеала идеал есть минимальный охватывающий аннулятор. [Действительно, является аннулятором; в силу (3) он содержит если и некоторый аннулятор, то в силу (1), (2), Если множество идеалов в идеал, порожденный их объединением, минимальный аннулятор, охватывающий все идеалы из

Для всякого -подмодуля множество есть минимальное охватывающее 93 ядро. Если —множество -подмодулей из подмодуль, порожденный их объединением, то -минимальное ядро, охватывающее все -подмодули из

Пересечение аннуляторов является аннулятором, пересечение ядер — ядром:

Доказательство (8). Вместо будем писать просто Включение из и (1) следует,

Отсюда Обратное включение : для любого имеем В силу (2) и Применим (1) к крайним членам этой цепочки: В силу Утверждение доказано.

Из формул (7) и (8) следует, что и являются полными структурами с включением в качестве отношения частичной упорядоченности и со следующими операциями «минимум» соответственно: для всякого подмножества из для всякого подмножества из Операции «максимум» определяются отсюда следующим образом: для для

Теорема 1. Пусть кольцо с некоторый -модуль. Ограничения операций соответственно на множества и являются парой взаимно обратных антиизоморфизмов структур

Доказательство. Из (5) и (6), согласно лемме, следует, что ограничения являются взаимно однозначными и взаимно обратными отображениями на. Из (1) и (2) следует, что они являются антиизоморфизмами