§ 4. Проекции

Пусть любое множество элементов - отображения в себя. Будем обозначать через образ а через множество неподвижных элементов отображения

( есть максимальное подмножество на котором тождественно.) Очевидно, что

Отображение такое, что называется идемпотентным отображением (идемпотентом), или проекцией (проектированием) в себя. Утверждение, - что есть проекция, эквивалентно каждому из трех следующих утверждений:

1) сужение на является тождественным отображением;

Различные проекции могут иметь один и тот же образ. Замечательно, однако, что если проекции коммутируют, то из совпадения образов следует совпадение самих проекций:

Теорема 7. Если коммутирующие проекции (т. е. ) и то

Доказательство. Пусть а — любой элемент из По условию теоремы Таким образом, т. е. Диалогично срфа но так как то (для всех а).

Квазипроекцией будем называть такое отображение в себя, которое на образе действует взаимно

однозначно (другими словами, сужение которого на образ множества взаимно однозначно).

Введем обозначение Тогда если квазипроекция, то проекция на

Пусть теперь -абелева группа с элементами о, -эндоморфизмы . Ясно, что являются подгруппами в Наряду с ними задает еще одну подгруппу — ядро

Множество эндоморфизмов является кольцом по отношению к операциям сложения и умножения (т. е. последовательного выполнения эндоморфизмов); нулем этого кольца является эндоморфизм О, переводящий каждый элемент в о; единицей — тождественный эндоморфизм 1. Если эндоморфизм, то тоже эндоморфизм. Положим тогда т. е. есть пнволютивное соответствие в кольце эндоморфизмов Очевидно, справедливы соотношения

Пусть теперь идемпотентный эндоморфизм, или проекция в Тогда —тоже проекция и выполняются равенства

Два отображения, удовлетворяющие последним равенствам, называются взаимно дополнительными. Имеем также

Теорема 8. Если идемпотентный эндоморфизм абелевой группы то

[Последнее равенство означает, что

Говорят также, что и дополняющие друг друга подгруппы группы

Доказательство. Для всех имеем

Если , то (поскольку ),

Эндоморфизм группы тогда и только тогда есть квазипроекция, когда

Действительно, квазипроекция тогда и только тогда, когда всякий элемент из имеет свой прообраз в

или, поскольку

(обратное включение очевидно). Далее, утверждение: действует на взаимно однозначно» эквивалентно утверждению: «из следует , т. е. эквивалентно включению

Таким образом, есть квазнироекция тогда и только тогда, когда

т. е. когда (9) имеют место (поскольку обратные включения тривиальны).

Теорема 8. Для того чтобы эндоморфизм абелсвой группы удовлетворял условию (8), необходимо и достаточно, чтобы был квазипроекцией.

Доказательство. Следующие высказывания эквивалентны между собой:

1) для всякого существует такой, что

2) для всякого а существует такой, что или или а Кегср, или где а Кегср;

Кроме того, эквивалентны высказывания: из следует ; из следует

Проекции существуют и среди циклических отображений множества всех n-угольников в себя; будем называть их циклическими проекциями. Так, — циклические проекции. В § 1 этой главы был поставлен вопрос об образах циклических отображений. Следующая теорема дает на него частичный ответ:

Теорема 9. Если циклическая проекция, то циклический класс.

Доказательство. Если циклическая проекция, то тоже циклическая проекция. Тогда но является циклическим классом (теорема 1).

Сумма коэффициентов циклической проекции равна или 1. Действительно, отображение является гомоморфизмом на К. Если идемпотент, то тоже идемпотеит в К, но ноле не имеет идемпотентных элементов, отличных от Он 1. Если то (и наоборот). Отсюда и из теоремы 6 следует, что если изобарическая циклическая проекция, то свободный циклический класс. Если же то центральный циклический класс.

Образ и ядро любой циклической проекции являются взаимно дополнительными подпространствами векторного пространства (см. теорему 8).

Суммируем полученные результант:

Теорема 9. Если циклическая проекция, то и — взаимно дополнительные циклические классы. Если при этом изобарично, то свободный, а — центральный циклические классы; если же

то, напротив, - свободный, a - центральный классы.

Пример: есть изобарическая циклическая проекция, класс тривиальных n-угольников, -нуль-изобарический класс (см. § 3 гл. I и § 3 этой главы). Далее, есть циклическая проекция с нулевой суммой коэффициентов. Итак,

Пусть А — произвольный n-угольннк. Разложение

является представлением А в виде суммы тривиального n-угольника — центра тяжести А — и n-угольннка, полученного из А таким параллельным переносом, чтобы его новый центр тяжести совпал с . Это представление А в виде суммы тривиального и нуль-изобарического n-угольников единственно.

Упражнение. Эндоморфизм абелевой группы тогда и только тогда является квазипроекцией, когда существует некоторая проекция, имеющая с данным эндоморфизмом одинаковые образ и ядро. Так как проекция полностью определяется своими образом и ядром, то для заданной квазипроекции искомая проекция единственна и равна