§ 4. Примеры определения циклических классов по делителям многочлена x^n-1

Простой делитель многочлена определяет циклическое отображение следовательно, циклический класс

— класс тривиальных n-угольников. Дополнительному к делителю

(нормированному так, чтобы сумма его коэффициентов равнялась 1) соответствует циклическое отображение следовательно, циклический класс нуль-изобарический класс (как известно, он дополнителен к классу тривиальных n-угольников).

Будем различать два типа делителей многочлена

Всякий делитель типа I) определяет некоторый свободный циклический класс, а всякий делитель типа II) — центральный класс.

Действительно, по теореме 5 условие эквивалентно включению

Если делитель типа I) определяет свободный циклический класс то определяет соответствующий центральный класс 6. Действительно, есть он определяет

Всякий делитель типа II) можно, умножив его на нормировать так, чтобы его сумма коэффициентов была тогда соответствующая получаемая

подстановкой циклическая проекция будет изобарической. Делитель типа II) можно нормировать так, чтобы равнялась 1 сумма коэффициентов многочлена

Пусть Многочлен является делителем типа I). Ему соответствует циклическое отображение —1, и циклический класс

— это класс раз пройденных n-угольников. Делителю типа II)

соответствует центральный класс

Делитель типа II)

дополнителен к Он определяет дополнительный к класс класс -кратно изобарически распадающихся n-угольников с центром тяжести о (см. теорему 3 гл. 4).

Многочлен идемпотентен по модулю так как он принимает значение 1 на корнях степени из 1 и значение в остальных точках спектра. Действительно, если корень степени из 1, то и

а если не является корнем степени из 1, т.е. то

Отображения та суть не что иное, как хордовое и последовательное -усреднения. Их ядра известны из теорем 1 и 4 гл. 4 и первого правила гл. 3.

Частичные произведения выражения являются нормированными представителями элементов булевой подалгебры алгебры делителей многочлена Если то 8 формально различных частичных произведений действительно различны. Частичные произведения, состоящие из определяют центральные классы а эти же многочлены, умноженные на соответствующие свободные циклические классы.

Делители многочлена определяют циклические классы n-угольников, содержащиеся в классе раз пройденных n-угольников. [Действительно, условие эквивалентно включению В булевой алгебре циклических классов n-угольников они образуют подструктуру, которая изоморфна булевой алгебре n-угольников; n-угольники этих классов получаются -кратным прохождением n-угольников соответствующих классов.

Введем следующие обозначения: если — некоторый циклический класс n-угольников, то через будем обозначать класс раз пройденных n-угольников из

является циклическим классом n-угольников.

Лемма. Пусть циклический класс n-угольников, определенный многочленом Тогда есть циклический класс n-угольников, определенный этим же многочленом.

Доказательство. Класс n-угольников, определенный многочленом множество всех n-угольников, класс n-угольников, определенный этим же многочленом, есть

Пусть теперь собственный делитель Тогда является пространством решений циклической системы

Так как то циклический класс определенный многочленом содержится С другой стороны, он является пространством решений системы

(я уравнений). (19)

Если удовлетворяет системе (18), то удовлетворяет системе (19); поэтому обратно, пусть Поскольку имеем следовательно, система (19) совпадает с (18), т.е.

Теорема 9. Из атомарных циклических классов n-угольников не являются подклассами периодических классов лишь те, которые определены делителями многочлена Остальные атомарные циклические классы n-угольников получаются из атомарных циклических классов n-угольников с помощью кратного прохождения этих n-угольников.

Здесь обозначает, что собственный делитель т. е.

Доказательство. Атомарные циклические классы определяются посредством простых делителей следовательно, простых делителей многочленов деления круга при Различные многочлены деления круга имеют различные простые делители. Если циклический класс определен простым делителем многочлена при то, согласно лемме, поскольку Таким образом, при класс содержится в периодическом классе Простые делители многочлена не делят при Поэтому определяемые ими классы не содержатся в собственно периодических классах.

Если то для каждого имеется точно один «типичный» атомарный класс n-угольников, а именно тот, который определяется многочленом Все остальные атомарные циклические классы n-угольников получаются из «типичных» атомарных классов n-угольников их

многократным прохождением. «Типичный» атомарный класс n-угольников состоит из аффинно-правильных n-угольников с центром тяжести о. Для произвольного «типичные» атомарные классы описаны в гл. 10.

Упражнения

(см. скан)