§ 4. Последовательные усреднения

Ради полноты изложения рассмотрим здесь обобщения введенных ранее отображений которые для нас будут менее важны, чем отображения, введенные в предыдущих параграфах.

Циклическое отображение определенное системой

будем называть последовательным -усреднением и обозначать через отображение изобарнчно.

При имеем: класс параллелограммов — класс дважды пройденных n-угольников При справедлива общая

Теорема 4.

Доказательство. 1) Рассмотрим таблицу (1) для n-угольника Сумма элементов любой ее строки равна откуда следует, что

2) -ядро отображения — это множество n-угольников, удовлетворяющих условию которое можно также записать в виде циклической системы

Из первых двух равенств системы (5) следует, что Отсюда в силу цикличности Обратно, если система (5), очевидно, удовлетворяется.

3) Заметим, что и

Для завершения доказательства теоремы 4 остается показать, что т. е. что для всякого -кратно изобарически распадающегося n-угольника существует его х-прообраз. Мы докажем даже большее:

Для всякого n-угольника из существует точно один его -прообраз.

Доказательство. В существует элемент удовлетворяющий уравнению

[между прочим, отсюда следует, что Легко проверить, что этим элементом является

Напомним основные тождества, которыми необходимо пользоваться при подсчете:

Рассмотрим циклическое отображение Так как [см. формулы (1) гл. 3], то и из (6) следует, что

Но, по теореме Таким образом,

Итак, для всякого n-угольника В из его равен по теореме 5 гл. 2 он принадлежит Однозначность прообраза также следует из (8): если то в силу коммутативности циклических отображений и из (8) получаем, что Итак, утверждение и теорема 4 доказаны.

На классе -кратно изобарически распадающихся n-угольников сужение отображения есть отображение, обратное сужению

Следствие. Отображение есть квазипроекция, имеющая с циклической проекцией о одинаковые образ и ядро.

Это следует из теорем 2, 4, утверждения и первого правила из § 2 гл. 3.

Упражнения

(см. скан)