§ 4. Последовательные усреднения
Ради полноты изложения рассмотрим здесь обобщения введенных ранее отображений
которые для нас будут менее важны, чем отображения, введенные в предыдущих параграфах.
Циклическое отображение
определенное системой
будем называть последовательным
-усреднением и обозначать через отображение изобарнчно.
При
имеем:
класс параллелограммов
— класс дважды пройденных n-угольников
При
справедлива общая
Теорема 4.
Доказательство. 1) Рассмотрим таблицу (1) для n-угольника
Сумма элементов любой ее строки равна откуда следует, что
2)
-ядро отображения — это множество n-угольников, удовлетворяющих условию
которое можно также записать в виде циклической системы
Из первых двух равенств системы (5) следует, что
Отсюда в силу цикличности
Обратно, если
система (5), очевидно, удовлетворяется.
3) Заметим, что
и
Для завершения доказательства теоремы 4 остается показать, что т. е. что для всякого
-кратно изобарически распадающегося n-угольника существует его х-прообраз. Мы докажем даже большее:
Для всякого n-угольника из
существует точно один его
-прообраз.
Доказательство. В
существует элемент
удовлетворяющий уравнению
[между прочим, отсюда следует, что
Легко проверить, что этим элементом является
Напомним основные тождества, которыми необходимо пользоваться при подсчете:
Рассмотрим циклическое отображение
Так как
[см. формулы (1) гл. 3], то
и из (6) следует, что
Но, по теореме
Таким образом,
Итак, для всякого n-угольника В из
его
равен
по теореме 5 гл. 2 он принадлежит
Однозначность прообраза также следует из (8): если
то
в силу коммутативности циклических отображений и из (8) получаем, что
Итак, утверждение
и теорема 4 доказаны.
На классе
-кратно изобарически распадающихся n-угольников сужение отображения
есть отображение, обратное сужению
Следствие. Отображение
есть квазипроекция, имеющая с циклической проекцией
о одинаковые образ и ядро.
Это следует из теорем 2, 4, утверждения
и первого правила из § 2 гл. 3.
Упражнения
(см. скан)