§ 4. Последовательные усреднения
Ради полноты изложения рассмотрим здесь обобщения введенных ранее отображений 
которые для нас будут менее важны, чем отображения, введенные в предыдущих параграфах.
Циклическое отображение 
определенное системой
будем называть последовательным 
-усреднением и обозначать через отображение изобарнчно.
При 
имеем: 
класс параллелограммов 
— класс дважды пройденных n-угольников 
При 
справедлива общая
Теорема 4. 
Доказательство. 1) Рассмотрим таблицу (1) для n-угольника 
Сумма элементов любой ее строки равна откуда следует, что
2) 
-ядро отображения — это множество n-угольников, удовлетворяющих условию 
которое можно также записать в виде циклической системы
Из первых двух равенств системы (5) следует, что 
Отсюда в силу цикличности 
Обратно, если 
система (5), очевидно, удовлетворяется.
3) Заметим, что 
и 
Для завершения доказательства теоремы 4 остается показать, что т. е. что для всякого 
-кратно изобарически распадающегося n-угольника существует его х-прообраз. Мы докажем даже большее:
Для всякого n-угольника из 
существует точно один его 
-прообраз.
Доказательство. В 
существует элемент 
удовлетворяющий уравнению
[между прочим, отсюда следует, что 
Легко проверить, что этим элементом является
Напомним основные тождества, которыми необходимо пользоваться при подсчете:
Рассмотрим циклическое отображение 
Так как 
[см. формулы (1) гл. 3], то 
и из (6) следует, что
Но, по теореме 
Таким образом,
Итак, для всякого n-угольника В из 
его 
равен 
по теореме 5 гл. 2 он принадлежит 
Однозначность прообраза также следует из (8): если 
то 
в силу коммутативности циклических отображений и из (8) получаем, что 
Итак, утверждение 
и теорема 4 доказаны.
На классе 
-кратно изобарически распадающихся n-угольников сужение отображения 
есть отображение, обратное сужению 
Следствие. Отображение 
есть квазипроекция, имеющая с циклической проекцией 
о одинаковые образ и ядро.
Это следует из теорем 2, 4, утверждения 
и первого правила из § 2 гл. 3.
Упражнения
(см. скан)
