ПРИЛОЖЕНИЕ II. СТРУКТУРЫ

Множество называется структурой, если в нем определены две бинарные операции (отображения и бинарное отношение (подмножество удовлетворяющие следующим аксиомам:

Аксиома 1 (ассоциативность):

Аксиома 2 (коммутативность):

Аксиома 3 (поелещение):

Аксиома 4: .

Примечание к аксиоме 4. Если для двух операций в множестве выполнены аксиомы 1, 2 и 3, то отношение можно определить при помощи аксиомы 4.

Аксиомам 1—4 эквивалентны следующие аксиомы:

Аксиома V (рефлексивность):

Аксиома 2 (транзитивность):

Аксиома 3 (антисимметрия):

Аксиома 4 (максимум):

Аксиома 5 (минимум):

Мы приведем примеры структур и некоторые методы получения новых структур из заданных. Начнем с важнейшего примера, являющегося до некоторой степени прототипом всех структур:

1. Множество всех подмножеств множества с операциями и и отношением

2. Пусть -некоторое множество подмножеств из замкнутое относительно операции пересечения, т. е. такое, что для всякого подмножества

Всякому подмножеству поставим в соответствие подмножество -пересечение всех подмножеств из 6, содержащих А. Тогда ( является структурой означает операцию

Следующие четыре примера 3—6 являются частными случаями примера 2.

3. Множество всех подгрупп некоторой группы.

4. Множество всех нормальных делителей некоторой группы. (В этой структуре

5. Множество всех подмодулей некоторого -модуля (Я — кольцо). (Здесь

6. Множество всех двусторонних идеалов некоторого кольца (Здесь

7. Множество всех отличных от нуля идеалов области целостности с операциями

8. Пусть кольцо главных идеалов, -структура идеалов кольца (пример 6). Рассмотрим отображение Полным прообразом идеала является класс ассоциированных с а элементов через обозначается группа обратимых элементов («единиц») кольца Соответствие взаимно однозначно отображает структуру на множество классов ассоциированных элементов. В последнем можно следующим образом ввести операции для произвольных пусть класс наибольшего общего делителя класс наименьшего общего кратного означает, что а делится на Тогда указанное выше соответствие станет изоморфизмом структур.

9. Пусть произвольное линейно упорядоченное множество, т. е. такое, что в нем выполняются аксиомы и для всяких двух элементов справедливо одно из отношений Относительно операции и отношения множество К является структурой.

10. Структурой является множество всех идемпотентных элементов коммутативного кольца с операциями примечание к аксиоме 4; см. также § 1 гл. 5).

Пусть задана структура Определим отношение следующим образом:

Тогда также является структурой; она называется двойственной к исходной. Сформулируем принцип двойственности теории структур:

Если некоторое утверждение теории структур справедливо для всех структур, то справедливо также и двойственное к нему утверждение 2, полученное из заменой соответственно на

Действительно, 2 справедливо для всякой структуры так как справедливо для всякой структуры, в том числе и для

Пример.

11. Структура, двойственная к структуре примера 8, состоит из классов ассоциированных элементов с операциями и и отношением («делит»).

Пусть задано семейство структур т. е. отображение множества «индексов» в множество структур. Произведением структур называется множество всевозможных отображений а множества I в объединение множеств при которых Произведение является структурой относительно операций и отношения определенных следующим образом:

[Если пусто то очевидно, что и так что состоит только из пустого отображения пустого множества в себя, ]

Пример.

12. Пусть -семейство коммутативных колец с множеством индексов Отображение определяет семейство структур. Их произведением является структура идемпотентных элементов прямой суммы

Будем говорить, что структура является соответственно подсвязкой, -подсвязкой, -подсвязкой и подструктурой структуры если она удовлетворяет условиям, собранным в следующую таблицу:

(см. скан)

Примеры.

13. В структуре (см. пример 1) подсвязкой является

14. В структуре классов ассоциированных элементов кольца целых чисел с операциями и отношением подсвязкой является (см. пример 11 (и 8); здесь

15. Структура примера 2 является -подсвязкой структуры подмножеств (пример 1).

16. Структура -подмодулей -модуля (пример 5) является подструктурой структуры подгрупп аддитивной группы (примеры 3 и 4).

17. Всякое подмножество, замкнутое относительно операций структуры образует подструктуру относительно ограничения этих операций. циальные подструктуры в можно получить,

выбрав для элементов из следующие подмножества:

К этим специальным случаям относится следующий пример:

18. В структуре классов ассоциированных элементов кольца главных идеалов с операциями и и отношением (пример классы, состоящие из делителей заданного элемента образуют интервал В § 4 гл. 7 он обозначался через

Пусть теперь задана произвольная структура Если будем писать

Отношение, двойственное к обозначим

Определение.

(см. скан)

Будем обозначать через нулевой, а через 1 единичный элемент структуры (если они существуют). Их единственность следует из аксиомы 3.

Если существует атомарный элемент а, то существует и нулевой элемент структуры, причем это единственный элемент, меньший а. Действительно, пусть Для всех имеем поэтому или а, или Итак, для всех Это означает, что Атомарные элементы будем обозначать буквами

Множество всех атомарных элементов обозначим через

Высказанное утверждение допускает двойственное.

Примеры.

19. В структуре (см. пример 1) пустое множество является нулевым элементом, единичным. Одноэлементные подмножества атомарны; их дополнения до аптиатомарпы.

20. В структурах, встречающихся в алгебре, атомарные элементы часто называют минимальными, антиатомарные — максимальными элементами (подгруппами, идеалами,

21. В структуре, состоящей из множества действительных чисел отрезка [0, 1], операций и отношения (см. пример 9), нулевым элементом является число 0, единичным — число 1. Ни атомов, ни антиатомов в ней

22. В структуре (пример 11) нулевым элементом является , единичным . Атомарными являются классы, состоящие из простых элементов, антиатомов не существует (если не является полем).

Пусть снова задана произвольная структура Обозначим через множество атомарных элементов таких, что

Отображение

переводит исходную структуру в структуру всех подмножеств множества атомарных элементов Это отображение может быть сильно вырожденным (структура примера 21 не имеет атомарных элементов: для любого а), но может быть также изоморфизмом. Так, в примере 1 (и 19) отображение является, очевидно, взаимно однозначным отображением на Поэтому является изоморфизмом структур

Отсюда следует

Теорема 1. Если структура изоморфна некоторой структуре то в качестве множества может быть взято тогда данный изоморфизм структур есть не что иное, как отображение Для того чтобы структура была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого множества, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два требования:

(1) для любых

(2) для любого множества А атомарных элементов структуры существует элемент а такой, что

Мы хотим теперь показать, что для того чтобы структура удовлетворяла этим требованиям, необходимо и достаточно, чтобы она была полной, атомарной, дистрибутивной структурой с дополнениями; другими словами, чтобы она была полной булевой алгеброй.

Дадим необходимые определения.

Элемент структуры называется верхней границей множества если для всех Обозначение:

Элемент называется точной верхней границей, или структурным максимумом множества если

т. е. если является нулевым элементом в структуре всех верхних границ множества А (см. пример 17). Отсюда, в частности, следует единственность точной верхней границы. Ее обозначение:

Используя это обозначение, требование (1) в теореме 1 можно записать более сжато: для любого элемента

Двойственные понятия: нижняя граница множества. А

и точная нижняя граница (или минимум) множества А

В силу аксиомы 4 всякое двухэлементное подмножество в имеет точную верхнюю границу, а именно

Структура называется полной, если любое ее подмножество имеет точную верхнюю границу. В полной структуре всякое подмножество А имеет также и нижнюю границу.

Действительно, если то Отсюда следует, что является нижней границей множества очевидно, превосходящей все остальные нижние границы.

Структура, двойственная к полной структуре, тоже полна.

Всякая полная структура имеет нулевой элемент, а именно единичный элемент

Примеры.

23. Структура примера следовательно, всякая структура со свойствами (1) и (2)] полна. Точной верхней границей множества подмножеств из является объединение этих множеств, точной нижней границей — их пересечение.

24. Полны также структуры примеров 2—6, 8, 11 и 21.

25. Произведение семейства полных структур полно.

26. Всякая непустая конечная структура полна.

27. Неполной структурой является, например, множество рациональных чисел с операциями и отношением (пример 9).

Элемент у называется дополнением к х, если

Структура с нулем и единицей называется структурой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет по крайней мере одно дополнение.

Структура, двойственная к структуре с дополнениями, сама является структурой с дополнениями. Чтобы доказать, что произведение структур с дополнениями является структурой с дополнениями, необходимо использовать аксиому выбора.

Примеры.

28. Структура [а также всякая структура, удовлетворяющая требованиям (1) и (2)] является структурой с дополнениями. Всякое подмножество А из имеет единственное дополнение, а именно множество, дополняющее А до

29. Структура -подмодулей некоторого -модуля -поле, см. пример 5), а следовательно, структура подпространств векторного пространства являются структурами с дополнениями, так как всякий базис подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.

30. В структуре примера 11 (и 22) интервал где является структурой с дополнениями тогда и только тогда, когда элемент свободен от квадратов. В этом случае класс обладает единственным дополнением — классом В частности, структура делителей элемента (см. пример 18) является структурой с дополнениями тогда и только тогда, когда свободно от квадратов (обратимые элементы относятся к свободным от квадратов).

31. В структуре идемпотентов коммутативного кольца (см. пример 10) всякий непустой отрезок есть структура с дополнениями; однозначно определенным дополнением к является Если кольцо имеет единичный элемент 1, то и 1 в соответствуют и 1 в ; в этом случае вся структура есть структура с дополнениями.

[Если в кольце всякий делитель нуля нильпотентен, как, например, в факторкольце или в области целостности, то идемпотентными элементами являются только 0 и 1. Действительно, из или а следует, что или а — делитель пуля; но тогда он нильпотентен, а нильпотентный идемпотент равен нулю.

Выясним теперь, что означает требование (2).

Теорема 2. Если любой элемент х полной структуры имеет точно одно дополнение х, то для всякого множества А атомов структуры

Доказательство. Очевидно, что Докажем обратное включение. Пусть Так как то соотношение выполняться не может; следовательно, не может выполняться и соотношение Это означает, что существует элемент такой, что Осталось показать, что С одной стороны, так как то С другой стороны, Так как атомарен, то равен либо нулю, либо Если то в силу единственности дополнения чего не может быть. Таким образом, Тогда

Итак, элемент, дополнительный к значит,

Структура называется дистрибутивной, если в ней выполняется дистрибутивный закон

Двойственным к нему является закон

Докажем, что в дистрибутивной структуре закон тоже справедлив, т. е. структура, двойственная к дистрибутивной структуре, тоже дистрибутивна.

Доказательство,

Обратное утверждение совпадает с двойственным к только что доказанному и справедливо в силу принципа двойственности.

Подструктура дистрибутивной структуры дистрибутивна. Произведение дистрибутивных структур дистрибутивно.

Примеры.

32. Сруктура следовательно, всякая структура, удовлетворяющая требованиям (1) и (2)] дистрибутивна.

33. Структура идеалов кольца главных идеалов дистрибутивна. Действительно, достаточно показать, что

(противоположное включение очевидно во всякой структуре). Пусть тогда Всякий элемент из представим как в видеха, так и в виде Первое слагаемое второе слагаемое что и требовалось доказать.

34. Дистрибутивны следующие структуры: структура примера 8, изоморфная структура примера 33, и двойственная к ней структура примера 11.

35. Дистрибутивна структура всякого линейно упорядоченного множества (пример 9).

36. Структура (пример 10) дистрибутивна. Действительно, если с—идемпотентные элементы коммутативного кольца то а (см. § 1 гл. 5).

Теорема 3. Если в некоторой дистрибутивной структуре с и I как элементы так и элементы взаимно дополнительны, то из следует

Доказательство.

Из этой теоремы следует, что элементы дистрибутивной структуры с 0 и 1 имеют не более одного дополнения.

Дистрибутивные структуры с дополнениями называются булевыми структурамиг) (или булевыми алгебрами). Дополнение элемента х (однозначно определенное в силу теоремы 3) обозначим через х. Отображение

является — снова в силу теоремы 3 — изоморфизмом булевой алгебры ) на двойственную к ней булеву алгебру Итак, булева алгебра двойственна сама себе. Легко проверить, что в ней справедливы законы де Моргана

Булевой подалгеброй булевой алгебры называется подструктура структуры содержащая 0, 1 и вместе с каждым элементом х дополнительный к нему элемент х, другими словами, подмножество, содержащее 0, 1 и замкнутое относительно операций вместе с ограничением на него этих операций.

Примеры.

37. , и, следовательно, всякая структура со свойствами (1) и (2) является булевой алгеброй (см. примеры 28 и 32).

38. Интервал описанный в примере 30, в частности подструктура если свободно от квадратов, являются булевыми алгебрами (см. пример 34).

39. Булевы алгебры, состоящие из идемпотентных элементов кольца, указаны в примерах 31 и 36.

40. В дистрибутивной структуре с и 1 множество элементов, имеющих дополнение, является подструктурой (пример 17) и даже булевой алгеброй.

41. Булевой алгеброй является множество всех открытых подмножеств некоторого топологического пространства с операциями: множество внутренних точек множества и отношением: означает означает замыкание множества).

Следствием дистрибутивного закона является модулярный закон

Для доказательства достаточно применить к левой части равенства в Структура, удовлетворяющая этому закону, называется модулярной. Очевидно, структура, двойственная к модулярной, модулярна. Всякая подструктура и произведения модулярных структур модулярны.

Для модулярных структур очевидным образом справедлива следующая теорема об изоморфизме (см. рис. 96):

Рис. 96.

Для произвольных -отображение

интервала в интервал и - отображение

интервала являются взаимно обратными изоморфизмами структур, т. е.

и, по принципу двойственности,

Обратно, закон является следствием как утверждения (3), так и утверждения (4). В этом можно убедиться, положив, например, в

Примеры.

42. Структура нормальных делителей группы (пример 4) модулярна. Справедливо даже более общее утверждение: для всяких трех множеств таких, что

(Доказательство тривиально; оно использует включения В частности, структура подгрупп абелевой группы модулярна и, следовательно, модулярна структура подмодулей некоторого -модуля (пример 16). (Отсюда название «модулярный».)

43. Подсвязка примера 14 из пяти элементов не является модулярной.

44. Структура подгрупп группы обратимых элементов факторкольца модулярна (см. пример 42), но не дистрибутивна.

Мы хотим теперь установить достаточные условия для того, чтобы структура удовлетворяла требованию (1). Назовем атомарной структуру, в которой требование

выполняется по крайней мере для случая т. е. в которой из следует, что Всякая непустая атомарная структура имеет нулевой элемент.

Теорема 4. Всякая атомарная модулярная структура с дополнениями удовлетворяет требованию (1).

Доказательство. Пусть Дополнение к обозначим через с. Имеем

В силу атомарности структуры спа Далее,

(Здесь во втором равенстве мы воспользовались законом модулярности.)

Примеры.

45. , как и всякая структура со свойством (1), атомарна (см. пример 19).

46. Структура классов ассоциированных элементов кольца главных идеалов атомарна (см. пример 22).

47. Всякая конечная структура атомарна.

48. Структура подпространств векторного пространства (см. пример 29) атомарна. Ее атомарными элементами являются одномерные подпространства.

49. Структура идеалов кольца с единицей в общем случае неатомарна, но всегда антиатомарна (т. е. в ней выполняется свойство, двойствен-, ное к атомарности).

В заключение соберем в одной теореме факты, установленные в теоремах

Теорема 5. Для того чтобы структура была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого множества, необходимо и достаточно, чтобы она была полной атомарной булевой алгеброй.

Следствие. Для того чтобы структура была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого конечного множества, необходимо и достаточно, чтобы она была конечной булевой алгеброй.

Литература к приложению II: Биркгоф [2], Хермес [19], Маклейн и Биркгоф [13], Резерфорд [16]. [См. также Скорняков [17].- Ред.]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

ОБОЗНАЧЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)