Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ПРИЛОЖЕНИЕ II. СТРУКТУРЫМножество Аксиома 1 (ассоциативность): Аксиома 2 (коммутативность): Аксиома 3 (поелещение): Аксиома 4: Примечание к аксиоме 4. Если для двух операций Аксиомам 1—4 эквивалентны следующие аксиомы: Аксиома V (рефлексивность): Аксиома 2 (транзитивность): Аксиома 3 (антисимметрия): Аксиома 4 (максимум): Аксиома 5 (минимум): Мы приведем примеры структур и некоторые методы получения новых структур из заданных. Начнем с важнейшего примера, являющегося до некоторой степени прототипом всех структур: 1. Множество 2. Пусть
Всякому подмножеству Следующие четыре примера 3—6 являются частными случаями примера 2. 3. Множество всех подгрупп некоторой группы. 4. Множество всех нормальных делителей некоторой группы. (В этой структуре 5. Множество всех подмодулей некоторого 6. Множество 7. Множество 8. Пусть 9. Пусть 10. Структурой является множество Пусть задана структура
Тогда Если некоторое утверждение Действительно, 2 справедливо для всякой структуры Пример. 11. Структура, двойственная к структуре примера 8, состоит из классов ассоциированных элементов с операциями Пусть задано семейство структур
[Если Пример. 12. Пусть Будем говорить, что структура (см. скан) Примеры. 13. В структуре 14. В структуре классов ассоциированных элементов кольца целых чисел 15. Структура 16. Структура 17. Всякое подмножество, замкнутое относительно операций выбрав для элементов
К этим специальным случаям относится следующий пример: 18. В структуре классов ассоциированных элементов кольца главных идеалов с операциями Пусть теперь задана произвольная структура
Отношение, двойственное к Определение. (см. скан) Будем обозначать через Если существует атомарный элемент а, то существует и нулевой элемент структуры, причем это единственный элемент, меньший а. Действительно, пусть
Высказанное утверждение допускает двойственное. Примеры. 19. В структуре 20. В структурах, встречающихся в алгебре, атомарные элементы часто называют минимальными, антиатомарные — максимальными элементами (подгруппами, идеалами, 21. В структуре, состоящей из множества действительных чисел отрезка [0, 1], операций 22. В структуре Пусть снова задана произвольная структура
Отображение
переводит исходную структуру Отсюда следует Теорема 1. Если структура (1) для любых
(2) для любого множества А атомарных элементов структуры Мы хотим теперь показать, что для того чтобы структура Дадим необходимые определения. Элемент
Элемент
т. е. если
Используя это обозначение, требование (1) в теореме 1 можно записать более сжато: для любого элемента
Двойственные понятия: нижняя граница множества. А
и точная нижняя граница (или минимум) множества А
В силу аксиомы 4 всякое двухэлементное подмножество
Структура называется полной, если любое ее подмножество имеет точную верхнюю границу. В полной структуре всякое подмножество А имеет также и нижнюю границу.
Действительно, если Структура, двойственная к полной структуре, тоже полна. Всякая полная структура Примеры. 23. Структура 24. Полны также структуры примеров 2—6, 8, 11 и 21. 25. Произведение семейства полных структур полно. 26. Всякая непустая конечная структура полна. 27. Неполной структурой является, например, множество рациональных чисел Элемент у называется дополнением к х, если
Структура с нулем и единицей называется структурой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет по крайней мере одно дополнение. Структура, двойственная к структуре с дополнениями, сама является структурой с дополнениями. Чтобы доказать, что произведение структур с дополнениями является структурой с дополнениями, необходимо использовать аксиому выбора. Примеры. 28. Структура
29. Структура 30. В структуре 31. В структуре [Если в кольце Выясним теперь, что означает требование (2). Теорема 2. Если любой элемент х полной структуры имеет точно одно дополнение х, то для всякого множества А атомов структуры
Доказательство. Очевидно, что Итак, Структура
Двойственным к нему является закон
Докажем, что в дистрибутивной структуре закон Доказательство,
Обратное утверждение совпадает с двойственным к только что доказанному и справедливо в силу принципа двойственности. Подструктура дистрибутивной структуры дистрибутивна. Произведение дистрибутивных структур дистрибутивно. Примеры. 32. Сруктура 33. Структура
(противоположное включение очевидно во всякой структуре). Пусть 34. Дистрибутивны следующие структуры: структура примера 8, изоморфная структура примера 33, и двойственная к ней структура 35. Дистрибутивна структура всякого линейно упорядоченного множества (пример 9). 36. Структура Теорема 3. Если в некоторой дистрибутивной структуре с Доказательство.
Из этой теоремы следует, что элементы дистрибутивной структуры с 0 и 1 имеют не более одного дополнения. Дистрибутивные структуры с дополнениями называются булевыми структурамиг) (или булевыми алгебрами). Дополнение элемента х (однозначно определенное в силу теоремы 3) обозначим через х. Отображение
является — снова в силу теоремы 3 — изоморфизмом булевой алгебры
Булевой подалгеброй булевой алгебры Примеры. 37. 38. Интервал 39. Булевы алгебры, состоящие из идемпотентных элементов кольца, указаны в примерах 31 и 36. 40. В дистрибутивной структуре с 41. Булевой алгеброй является множество всех открытых подмножеств Следствием дистрибутивного закона
Для доказательства достаточно применить Для модулярных структур очевидным образом справедлива следующая теорема об изоморфизме (см. рис. 96):
Рис. 96. Для произвольных
интервала
интервала
и, по принципу двойственности,
Обратно, закон Примеры. 42. Структура нормальных делителей группы
(Доказательство тривиально; оно использует включения 43. Подсвязка примера 14 из пяти элементов не является модулярной. 44. Структура подгрупп группы обратимых элементов факторкольца Мы хотим теперь установить достаточные условия для того, чтобы структура удовлетворяла требованию (1). Назовем атомарной структуру, в которой требование
выполняется по крайней мере для случая Теорема 4. Всякая атомарная модулярная структура с дополнениями удовлетворяет требованию (1). Доказательство. Пусть
В силу атомарности структуры спа
(Здесь во втором равенстве мы воспользовались законом модулярности.) Примеры. 45. 46. Структура 47. Всякая конечная структура атомарна. 48. Структура подпространств векторного пространства (см. пример 29) атомарна. Ее атомарными элементами являются одномерные подпространства. 49. Структура В заключение соберем в одной теореме факты, установленные в теоремах Теорема 5. Для того чтобы структура была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого множества, необходимо и достаточно, чтобы она была полной атомарной булевой алгеброй. Следствие. Для того чтобы структура была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого конечного множества, необходимо и достаточно, чтобы она была конечной булевой алгеброй. Литература к приложению II: Биркгоф [2], Хермес [19], Маклейн и Биркгоф [13], Резерфорд [16]. [См. также Скорняков [17].- Ред.] СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(см. скан) (см. скан) ОБОЗНАЧЕНИЯ(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|