§ 5. Примеры

Мы укажем примеры изобарических циклических отображений для

а) . Циклическое отображение

ставит в соответствие каждому n-угольнику n-угольник середин его сторон. Обозначим это отображение через

Образ всякого n-угольника при этом отображении имеет знакопеременную сумму вершин нуль и, следовательно, является параллелограммом; является циклическим классом параллелограммов. При этом переводит в множество тривиальных n-угольников класс дважды пройденных отрезков

Рис. 35.

Перейдем теперь к изобарическим циклическим отображениям Очевидно, что таким является отображение

которое каждому n-угольнику ставит в соответствие дважды пройденный n-угольнпк середин диагоналей исходного n-угольника (рис. 35). Прообразами тривиальных n-угольников являются здесь параллелограммы. Это отображение обозначим через

Итак, для всех отрезков диаграммы свободных классов n-угольннков из § 8 гл. 1 мы имеем циклическое отображение, которое переводит верхний класс в нижний

(рис. 36). Последовательное выполнение тривиализирует все n-угольники.

Как элементы и можно записать так:

откуда

Отображение является циклической проекцией (идемпотентом). Действительно,

Примечание. Буква х с индексом всегда обозначает отображение, сопоставляющее каждому n-угольнику n-угольник центров тяжести нескольких последовательных вершин исходного; с индексом обозначает отображение, сопоставляющее каждому n-угольнику n-угольник центров тяжести хордовых многоугольников.

Рис. 36.

Это так называемые последовательные и хордовые усреднения (см. гл. 4).

b) . Через обозначим циклические отображения заданные

посредством циклических систем

знакомое нам отображение, сопоставляющее каждому n-угольнику -угольинк середин его сторон; отображения в -угольинки центров тяжести соответственно двух и трех последовательно взятых вершин исходного -угольинка; а., переводит n-угольник в -уголь-ник, состоящий из четвертых вершин последовательных троек вершин исходного n-угольника. Для этих трех отображений справедливы следующие предложения введения:

1. , отображает в класс n-угольников с нулевой знакопеременной суммой вершин;

2. , отображает в класс -параллелограммов; отображает в класс призм (см. рис. 37 -40). В их справедливости мы убеждаемся элементарным подсчетом:

1°. знакопеременная сумма вершин

2°. Из системы, определяющей следует, что

Это означает, что во всяком n-угольнике — образе середины диагоналей совпадают между собой и с центром тяжести исходного n-угольника (он же — центр тяжести полученного -уголышка).

3°. Из системы, определяющей следует, что

т. е. в n-угольнике—образе тройки вершин различаются на вектор параллельного переноса (призмы). Кроме того,

(кликните для просмотра скана)

В диаграмме восьми свободных классов n-угольников (§ 8 гл. действует в направлении (северо-запад— юго-восток), в направлении в направлении на каждом отрезке вышестоящий класс отображается в нижестоящий (рис. 41).

Тот факт, что переводит класс -параллелограммов в класс аффинно-правильных n-угольников (рис. 42), можно обнаружить и без подсчетов следующим образом.

Рис. 41.

Пусть А есть -параллелограмм; тогда по теореме 5 — тоже -параллелограмм, а, согласно 1°, знакопеременная сумма его вершин равна о; таким образом, в силу теоремы 5 гл. 1, - аффинно-правильный n-угольник.

Возьмем произвольный n-угольник и применим к нему последовательно в любом порядке три отображения в результате получится тривиальный n-угольник, а именно 6 раз повторенный центр тяжести исходного n-угольника (см. рис. 40).

В рассматриваемые отображения записываются в виде

откуда

Рис. 42.

Упражнения

(см. скан)