§ 5. Смешанные задачи

1. Пусть — циклический класс степени определенный делителем -стхт (где ). Произвольный n-угольник из можно получить следующим образом: выберем произвольно, найдутся единственным образом из рекуррентной системы

Полученное представление циклического класса назовем нормальным. При этом представлении параметры, можно еще нормировать гак, чтобы

2. Пусть у — автоморфизм, а эндоморфизм некоторой абелевой группы. Обозначим через тогда у (Кегф)

3. Пусть отображение является инволютнвным автоморфизмом но не циклическим отображением. Для всякого циклического отображения имеем Отображение

является автоморфизмом в а также в Справедливо равенство а Отображение

является инволютивпым автоморфизмом булевой алгебры циклических классов, сохраняющим степень класса. Оно меняет местами АСО-класс и нуль-изобарическип класс, класс тривиальных -уголышков и класс раз пройденных n-угольников с центром тяжести о.

При исследуйте, как отображение преобразует циклические проекции, а отображение циклические классы.

4. Пусть четно и Вместе с (§ 4 гл. 8) многочлен является идемпотептным делителем многочлена Если четно, то Пусть нечетно. Установите связь между и опишите ее в терминах булевой алгебры циклических проекций и циклических классов.

пример,

Заменяя х на получим циклическую проекцию, которая имеет одинаковые образ и ядро с ее можно записать так:

5. Пусть При нечетном отображение обратимо; обратным элементом является

в. Отображение - специализирует множество n-угольников только при

7. Действие на параллелограмм, а также многократно пройденный параллелограмм сводится к циклической перестановке его вершин. Существуют ли еще нетривиальные n-угольники, обладающие тем же свойством?

8. Пусть Рассмотрим отображение для любого есть чисел то имеют одинаковые образ и ядро.

Если и нечетно и то имеют одинаковые образ и ядро.

9. Отображение является автоморфизмом кольца переводящим Пусть делитель Если симметричен или антисимметричен (см. § 1 гл. 12; при это предположение выполняется всегда), то отображения имеют одинаковые образ и ядро.

10 (циклические классы циклических отображений). Циклическое отображение пространства задается n-набором коэффициентов следовательно, n-угольником» из векторного пространства (здесь Все понятия теории n-угольников посредством изоморфизма переносятся из на Идеалы в можно истолковать теперь как «циклические классы циклических отображений».

Пример. Идеал состоит из «тривиальных» циклических отображений, т. е. отображений где идеал из циклических отображений «с центром тяжести 0», т. е. из циклических отображений (ср. упражнение к § 3 гл. 3).

11 (циклические отображения циклического класса). По теореме 5 гл. 2 циклический класс остается месте иод действием любого циклического отображения. Но, вообще говоря, внутри некоторые отображения действуют одинаково Мы хотим выделить в подмножество, содержащее все различные циклические отображения класса

Пусть многочлен определяет класс Два циклических отображения одинаково действуют на когда они сравнимы Всевозможные различные циклические отображения представляются элементами идеала Справедливы равенства

Идеал состоит из циклических отображений, которые переводят в

12. Пусть Системой представителей всех циклических отображений на классе параллелограммов

являются циклические отображения с набором коэффициентов

т. е. класс «параллелограммов» циклических отображений (в смысле задачи 10). В частности, к ним принадлежат циклические отображения, переводящие множество всех n-угольников в множество параллелограммов, такие, как и проекция о с наборами коэффициентов и

Руководствуясь этими примерами, установите общую теорему относительно различных циклических отображений циклического класса n-угольннков.

13 (Киндер). Из всякой подстановки множества можно получить автоморфизм векторного пространства n-угольников

есть мономорфизм группы всех подстановок чисел в группу автоморфизмов Например, циклическое отображение есть образ подстановки Вообще говоря, не является циклическим отображением. Покажите, что для всякого следующие утверждения попарно эквивалентны:

4°. для некоторого для

Отсюда следует, что является циклическим отображением тогда и только тогда, когда оно имеет вид некоторой степени

14 (Киндер). Согласно задаче 2, автоморфизм пространства отображает всякий циклический класс циклический класс, если он принадлежит нормализатору кольца Покажите, что для всякой подстановки чисел

следующие утверждения попарно эквивалентны:

где Существуют взаимно простое с , и такие, что для

Группу подстановок со свойствами 1° — 5° обозначим через Пусть подгруппа подстановок таких, что автоморфизмы отображаюг на себя всякий циклический класс. Подстановка порождает группу порядка , которая в (и тем самым в является нормальным делителем.

Покажите, что факторгруппа изоморфна группе Галуа многочлена над полем К. Смежный класс подстановки , удовлетворяющей сравнению соответствует -автоморфизму поля Здесь -первообразный корень степени из 1 в поле разложения многочлена над К.

15. Пусть простое поле характеристики Если то Существует по меньшей мере циклических классов. Определите циклические классы -уголышков над (они образуют дистрибутивную структуру, но не булеву алгебру).