§ 4. Булева алгебра циклических проекций

Основная ценность материала этой главы для теории n-угольников состоит в возможности применения теоремы алгебре циклических отображений, что приводит к булевой алгебре циклических проекций.

Посредством -вложения эта булева алгебра отображается в структуру подпространств векторного пространства n-угольников Так получается булева алгебра циклических классов (теорема 9 гл. 2). Позже мы докажем, что эта алгебра содержит все циклические классы.

Из § 4 гл. 2 мы знаем, что из двух взаимно дополнительных проекций в одна всегда изобарична, а- другая имеет нулевую сумму коэффициентов. Обе они при -вложении переходят во взаимно дополнительные циклические классы; один из них свободный, другой — центральный (см. теорему 9 гл. 2).

является атомарным элементом в [Действительно, или 1 для всякой циклической проекции следовательно, в силу леммы из § 1 гл. или поэтому если т. е. то или Так как а — наименьшая изобарическая циклическая проекция (см. равенство (1) гл. 3), то остальные атомарные элементы из имеют нулевую сумму коэффициентов. В булевой алгебре циклических классов, полученной посредством -вложения алгебры класс тривиальных n-угольников —

минимальный свободный циклический класс — является атомарным; остальные атомарные классы — центральные.

Булева алгебра содержит по меньшей мере хордовых усреднений (см. теорему 1 гл. 4), а значит, и порожденную ими подалгебру. [Напоминаем, что

Рис. 54.