115. Преобразование сумм Зейделя для оптической системы, состоящей из тонких компонентов

Представление оптической системы как совокупности компонентов, состоящих из бесконечно тонких линз, позволяет вдвое сократить число параметров, от которых зависят аберрации, и, следовательно, облегчить исследования, связанные с выбором конструкции компонента. Этот прием оказывается удобным на начальной стадии синтезирования оптической системы, когда известной может быть лишь общая схема, а конструктивные параметры отдельных линз компонентов неизвестны, что позволяет уже на этой стадии ответить на вопрос, рациональна ли выбранная схема.

В общем случае оптическая система может состоять из ряда тонких компонентов. Рассмотрим, как преобразуются суммы аберраций III порядка для отдельного тонкого компонента.

Пусть компонент состоит из отдельных бесконечно тонких линз, расположенных в воздухе и имеющих поверхностей. Толщина линз и расстояния между ними равны нулю: где толщина всего компонента.

Поэтому высоты точек пересечения 1-го и 2-го вспомогательных лучей с поверхностями линз компонента будут равны:

Обозначим высоты вспомогательных лучей на компоненте. Воспользуемся выражениями (497), из-под знака сумм которых можно вывести постоянные величины

1. Первая сумма

Обозначив получим

2. Вторая сумма

Обозначив получим

3. Третья сумма

Преобразуем последнее слагаемое следующим образом:

Известно, что (линзы расположены в воздухе), а также что

Следовательно, Тогда окончательно имеем:

где — оптическая сила всего компонента.

4. Преобразуем четвертую сумму:

Учитывая, что имеем

заменяя нумерацию показателей преломления по номерам линз, получаем

Оптическая сила компонента равна

Приведенная оптическая сила следовательно,

обозначая получим

5. Первое и второе слагаемые суммы можно получить по аналогии с выполненными преобразованиями для Третье слагаемое будет иметь вид:

Последнее слагаемое равно нулю:

Окончательно получим:

Таким образом, имеем следующий ряд формул:

Анализируя формулы (498), можно сделать следующие выводы о коррекционных возможностях тонкой оптической системы.

1. Сферическая аберрация и кривизна поля изображения не зависят от положения входного зрачка, так как в выражения сумм и не входит величина

2. Кривизна поверхности изображения, определяемая суммой не зависит от формы линз, так как данную оптическую силу может иметь линза любой формы.

Параметр для тонкого компонента изменяется в небольших пределах и не может оказать существенного влияния на значение четвертой суммы. В самом деле

Рис. 264. Независимость дисторсии от положения входного зрачка

Показатели преломления наиболее употребительных оптических стекол изменяются в диапазоне среднее значение составляет около 1,6. Если показатели преломления стекол мало отличаются от и можно считать, что а так как то четвертая сумма тонкого компонента остается практически постоянной: Все остальные монохроматические аберрации, кроме кривизны, можно корректировать, изменяя форму линз.

3. Полевые аберрации кома, астигматизм и дисторсия, которые соответственно определяются суммами зависят от положения входного зрачка, так как в их выражения входит где угол второго вспомогательного луча, удаление входного зрачка.

4. Изменяя положение входного зрачка нельзя повлиять на исправление аберрации, если первые аберраций исправлены. Остановимся на этом выводе подробнее.

Если исправлена сферическая аберрация т. е. что возможно лишь при то аберрация, в данном случае кома, не может быть исправлена за счет изменения положения входного зрачка, так как Если то при любом значении сумма

В апланатической тонкой системе астигматизм не устраним. При апланатической степени коррекции, как известно, что возможно лишь при тогда так как и

Если исправлены первые четыре монохроматические аберрации (сферическая, кома, астигматизм и кривизна), то изменением положения входного зрачка нельзя влиять на пятую аберрацию — дисторсию. Поясним это. В рассматриваемом случае все лучи наклонного пучка имеют общую точку пересечения в плоскости параксиального изображения (рис. 264), и если дисторсия в системе имеется то безразлично, какой из лучей будет главным.

5. Апланатическая система с входным зрачком, совпадающим с первой поверхностью свободна от дисторсии.

6. Астигматизм в тонкой системе может быть исправлен лишь тогда, когда входной зрачок системы не совпадает с первой поверхностью и при этом либо либо либо не равны нулю.

Например: 1) тогда так как всегда можно выбрать

положение входного зрачка, удовлетворяющее этому уравнению, т. е.

Из условия, что получим уравнение решая которое, можно определить требуемое положение входного зрачка через высоту

Таким образом, монохроматические аберрации III порядка тонкого компонента зависят от трех параметров причем последний параметр практически постоянен, следовательно, в тонкой системе формально можно исправить лишь две аберрации. Правда, при благоприятных условиях, как уже было показано, аберрационным параметром может оказаться положение входного зрачка

Следовательно, оптическая система, в которой требуется исправить все монохроматические аберрации, должна, состоять из нескольких компонентов, разделенных значительными воздушными промежутками. Причем, каждый из компонентов может оказаться и простым (одна линза, зеркало), и сложным, что зависит от основных оптических характеристик и требований к качеству изображения.