40. Распространение излучения

Яркость элементарной излучающей площадки в общем случае зависит как от ее расположения, так и от направления излучения [см. формулу (172)]. Однако яркости многих излучателей (например, раскаленных тел, светорассеивающих поверхностей) можно принять независимыми от направления. Тогда, как это следует из формулы (172),

где сила света площадки по направлению нормали при постоянной яркости.

Такое излучение называется излучением, подчиняющимся закону Ламберта.

Площадка (рис. 87) имеет одинаковую во всех направлениях яркость

Элементарный телесный угол, охватывающий пространство между двумя круговыми конусами с общей вершиной в центре

Рис. 87. Излучение с площадки

Рис. 88. Поток излучения между параллельными и соосными круглымиплощадками

площадки и плоскими углами между образующими и нормалью [см. формулу (162)],

Учитывая формулы (162) и (173), получаем, что поток от элемента поверхности в пределах телесного угла будет равен

Полный поток излучения от площадки в полусферу

Разделив обе части формулы (188) на площадь источника, получим, что для плоской поверхности, излучающей по закону Ламберта, энергетическая светимость

Следовательно, если на светорассеивающей поверхности получена энергетическая освещенность Ее, а она равна энергетической светимости, то энергетическая яркость этой поверхности согласно выражению (189)

Найдем поток излучения в телесном угле ограниченном внутренней полостью прямого кругового конуса с плоским углом при вершине, равным 2а, от излучающей малой площадки нормаль к которой совпадает с осью конуса (рис. 88). Примем, что излучающая площадка является идеально рассеивающей, т. е. подчиняется закону Ламберта.

Интегрируя равенство (187) при в пределах от до а, получаем искомый поток излучения от элементарной площадки

Рис. 89. Поток излучения между произвольно расположенными площадками

Рис. 90. Схема для определения освещенности площадки параллельной излучающей площадке

Этот поток упадет на площадку

Найдем поток излучения с круговой площадки на параллельную ей площадку в пределах телесного угла ограниченного боковой поверхностью прямого кругового конуса с вершиной центра площадки

Обозначим плоский угол при вершине конуса Примем, что энергетическая яркость площадки одинакова по всем направлениям.

При отсутствии потерь поток излучения, падающий на площадки т. е. в прямом и обратном направлении, одинаков. Поэтому его значение можно определить по формуле (191) с внесением следующих изменений: заменим на угол на угол Таким образом, поток излучения, поступающий с площадки на площадку

Заметим, что яркости излучающей и облучаемой площадок одинаковы.

Энергетическая освещенность площадки

Найдем поток излучения поступающий с элементарного излучателя (площадки на малую площадку (рис. 89), при произвольной ориентации их друг относительно друга. Центры площадок лежат на оси образованной световой трубки и находятся на расстоянии I друг от друга, а нормали к площадкам с осью трубки образуют соответственно углы

Поток излучения, поступающий на площадку определим по формуле, получаемой из равенства (187):

Из рис. 89 следует, что поэтому

Формула (194) справедлива при соблюдении закона Ламберта.

На основании закона сохранения энергии, т. е. при сохранении потока излучения, можно также написать:

где

Рассмотрим частный случай, когда площадки параллельны, но их нормали не совпадают (рис. 90). Из рис. 90 следует, что

Подставив эти данные в формулу (195), получим

Если

Энергетические освещенности соответственно равны:

Следовательно,

Энергетическая освещенность убывает к краю площадки пропорционально косинусу четвертой степени угла направления излучения относительно нормали к освещаемой площадке.

Из формул (193) и (195) следует, что

т. e. произведение площади нормального сечения световой трубки и элементарного телесного угла с вершиной в плоскости этого сечения сохраняется инвариантным для любого сечения световой трубки.

Инвариант по формуле (197) называют геометрическим фактором и обозначают Заметим, что геометрический фактор в виде знаменателя входит в формулу (173), которая в этом случае в энергетических величинах получает следующий вид:

Рассмотрим более общий случай, когда световая трубка преломляется поверхностью раздела двух сред с показателями преломления (рис. 91). Пусть площадь элемента преломляющей

Рис. 91. Преломленная световая трубка

Рис. 92. Схема для вывода инварианта Штраубеля

поверхности а телесные углы, имеющие вершины в центре этого элемента и опирающиеся на торцы световой трубки, Если углы между нормалями к площадкам и преломленной осью световой трубки обозначить через соответственно, то получим:

где и расстояния между центрами площадки и площадок соответственно.

Если вершины телесных углов поместить в центры площадок а контур площадки принять за направляющую, то значения этих телесных углов будут соответственно равны:

где углы падения и преломления в центре площадки

Рассмотрим световую трубку с торцами состоящую из двух частей, границей которых является площадка На основании инварианта (197) получим следующие два равенства:

и

из которых следует, что

Обратимся к рис. 92, на котором показаны элементарные площадки расстояние между центрами которых Телесный угол, соответствующий площадке с вершиной в центре площадки обозначим через Этот телесный угол высекает на сфере радиуса площадку (угол — угол между нормалями к площадкам). Угол сохраняет свое значение и для преломленной части световой трубки (на рисунке не показана), так как лучи при преломлении не выходят из плоскости падения.

По определению телесного угла

Площадь высекаемого этим телесным элементарного участка сферы, который можно считать прямоугольником,

Следовательно,

По аналогии для преломленной части световой трубки

При дифференцировании уравнения закона преломления получим

Перемножая левые и правые части двух последних равенств и умножая их на находим:

Последовательная подстановка равенств в формулу (201) дает следующий инвариант:

Этот инвариант — инвариант Штраубеля — имеет место для световой трубки с любым числом преломлений, т. е.

где число преломляющих поверхностей.

Для случая действия зеркальной отражающей поверхности при из равенств (199) и (200) следует, что т. е. при отражении элементарной световой трубки значения телесных углов, опирающихся на отражающую площадку, в пространствах изображений и предметов сохраняются, а инвариант Штраубеля для одной отражающей поверхности имеет вид:

Инвариант Штраубеля, представленный формулами имеет место при постоянстве потока излучения как при преломлении, так и при отражении.

Используя понятие геометрического фактора получим, что

Если световая трубка заполнена оптически однородной средой, то яркость светового пучка не изменяется в формулах (191)-(194)].

При преломлении световой трубки в условиях постоянства потока излучения и при разных показателях преломления в пространствах предмета и изображения имеем: для пространства предметов для пространства изображений Приравнивая правые части этих равенств и используя инвариант Штраубеля (202), получаем для одной преломляющей поверхности

Для последовательных преломлений через поверхностей энергетическая яркость на выходе системы

Из формулы (205) следует, что отношение энергетической яркости к квадрату показателя преломления инвариантно на всем протяжении элементарного пучка, не имеющего потерь за счет поглощения и отражения.

Все зависимости, приведенные в этом параграфе, относятся и к световым величинам.