48. Аберрации третьего порядка

Рассмотренная задача по определению меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной аберрации может быть решена приближенно.

Составляющие поперечной аберрации являются функциями координат луча они также зависят от конструктивных параметров системы, положения предметной плоскости и плоскости входного зрачка. Теория аберраций устанавливает связь между составляющими аберраций и координатами луча

Вследствие симметрии системы относительно оптической оси функции (246) не содержат членов четных порядков. Поэтому, если их разложить в ряд, то он будет содержать только члены нечетных порядков относительно координат : третьего, пятого, седьмого и более высоких порядков:

Наличие в формулах (247) слагаемых первого порядка соответствовало бы рассмотрению поперечных аберраций в произвольной плоскости, не совпадающей с плоскостью идеального изображения.

Величины, входящие в правые части выражений (247), соответственно называются: меридиональной и сагиттальной составляющими аберраций третьего порядка; пятого порядка, и седьмого порядка. Составляющие аберраций выше третьего порядка называют аберрациями высших порядков.

Аналитические выражения, определяющие аберрации высших порядков, оказываются настолько громоздкими, что их практическое применение затруднено. Поэтому при решении задачи по определению конструктивных параметров оптической системы, удовлетворяющих наперед заданным остаточным аберрациям, используют теорию аберраций третьего порядка.

Практическая значимость этой теории состоит в том, что она позволяет получить приближенные значения конструктивных параметров оптической системы и является математическим аппаратом для анализа общих аберрационных свойств исследуемой системы.

Теория аберраций третьего порядка определяет приближенные значения составляющих аберраций и представленных в виде ряда, члены которого содержат коэффициенты зависящие только от конструктивных параметров системы и от

Рис. 111. Ход вспомогательных лучей в оптической системе

положения плоскостей предмета и входного зрачка, но не зависящие от координат луча. Эти координаты входят в виде множителей ряда со степенями сумма которых а Число коэффициентов аберраций третьего порядка равно пяти.

Таким образом, для меридиональной и сагиттальной составляющих аберраций третьего порядка соответственно будем иметь:

где коэффициенты зависят только от положения плоскостей предмета и входного зрачка и конструктивных параметров оптической системы. Указанные коэффициенты выражают не через конструктивные параметры системы, а через параметры двух вспомогательных лучей.

Первый вспомогательный (нулевой) луч I проходит через осевую точку предметной плоскости под произвольным углом и пересекает главную плоскость первой поверхности на высоте (рис. 111). Для расчета этого луча используются формулы:

где

Напомним, что в формулах (248) символами а обозначены тангенсы углов.

Второй вспомогательный (нулевой) луч II проходит через центр входного зрачка под произвольным углом и пересекает главную плоскость первой поверхности на высоте Для расчета этого луча используются формулы:

При аберрационном расчете оптической системы марки стекол выбирает конструктор, т. е. значения показателей преломления в выражении (248) известны. Тогда, определив из условий коррекции аберраций параметры первого вспомогательного луча, можно найти конструктивные параметры системы по формулам

Выразив коэффициенты через параметры вспомогательных лучей, получим следующие формулы для составляющих поперечных аберраций третьего порядка:

Символами обозначены суммы Зейделя, определяемые через параметры вспомогательных лучей:

где

Выражения, стоящие под знаками сумм, называются поверхностными коэффициентами сумм Зейделя.

Для расчета сумм Зейделя на микрокомпьютере «Электроника-МК85» можно воспользоваться программой, приведенной в прил. 4.