15. Зависимости между положениями и размерами предмета и изображения

Для получения зависимостей, по которым определяют положения изображений точек, лежащих на оптической оси, рассмотрим выполненное на рис. 22 построение положения точки А, являющейся изображением осевой точки А, образуемым идеальной оптической системой, заданной кардинальными элементами. Предмет (отрезок перпендикулярный к оптической имеет основанием точку А. Изображение точки В, представляющей собой размер предмета у, получается в точке В пересечения двух лучей в пространстве изображений, сопряженных с лучами в пространстве предметов и проходящих через точку В.

Рис. 22. Схема для вывода формул Ньютона и отрезков

Луч V в пространстве предметов параллелен оптической оси. На задней главной плоскости в точке он меняет свое направление, и в пространстве изображений сопряженный с ним луч 1 проходит через фокус Луч 2 в пространстве предметов проходит через точку В и передний фокус В точке К этот луч меняет свое направление, и в пространстве изображений с ним будет сопряжен луч параллельный оптической оси. Таким образом получается точка В — изображение точки В.

Лучи 1 и 2, ход которых через систему известен, называют вспомогательными.

Так как предмет перпендикулярен к оптической оси, то его продолжение пересекается с передней главной плоскостью в бесконечно удаленной точке, изображение которой располагается также в бесконечно удаленной точке задней главной плоскости Следовательно, изображение предмета лежит на прямой, проходящей через эту бесконечно удаленную точку и точку В, т. е. на прямой, параллельной задней главной плоскости и соответственно перпендикулярной к оптической оси. Таким образом, изображение отрезка у (отрезок ) перпендикулярно к оптической оси, а точка А является изображением точки А.

Положение точки А относительно переднего фокуса определяется отрезком положение точки А относительно заднего фокуса отрезком

Из рассмотрения двух пар подобных прямоугольных треугольников следует: Отсюда получаем выражение

которое называют формулой Ньютона.

Если оптическая система находится в однородной среде, то [см. равенство (34)] и формула Ньютона получит вид:

Положение точек относительно главных плоскостей определим отрезками соответственно. Тогда из рис. 22 находим, что Подставляя равенства в формулу (35), получим выражение для определения положения сопряженных точек оптической оси:

которое называют формулой отрезков, формулой Гаусса.

Прн формула (37) имеет вид:

Каждая из формул при соответствующих исходных данных позволяет определить положение изображения осевой точки. Эта же задача решается при использовании выражения линейного увеличения Из рис. 22 следует, что

Заменим в формуле на на соответственно. Тогда

При

Если положение предмета — отрезка у, перпендикулярного к оптической оси, — задано, например отрезком а, то из формулы получаем значение линейного увеличения а из формулы (39) — значение у, т. е. размер изображения.

Обозначим расстояние между плоскостями предмета и изображения (между точками через между главными плоскостями (между точками через Тогда при известных значениях при получим: