118. Расчет оптической системы на минимум сферической аберрации

Если оптическая система имеет малое поле в пространстве предметов, то в такой системе качество изображения определяется в первую очередь состоянием коррекции сферической аберрации. К числу таких систем следует отнести объектив с небольшим угловым полем, конденсор осветительной системы и ряд других. При аберрационном расчете исходного варианта указанных систем, состоящих из положительных линз, в первоначальной стадии расчета делается допущение о том, что все линзы системы бесконечно тонкие. Как в объективе, так и в конденсоре возможны следующие варианты решений: система состоит из линз одинаковой оптической силы и каждая из них рассчитана на минимум сферической аберрации; в системе используются апланатические мениски и одна линза, рассчитанная на минимум сферической аберрации.

Рассмотрим аберрационный расчет каждого варианта объектива и конденсора, используя теорию аберраций III порядка.

Объектив из положительных линз одинаковой оптической силы. Принципиальная схема такого объектива показана на рис. 269. Пусть число линз в объективе Толщину всех линз и расстояния между ними принимаем равными нулю, т. е. Показатели преломления для всех линз будем считать одинаковыми, нечетные показатели преломления равны единице, т. е.

Расчет объектива будем проводить при единичном фокусном расстоянии, поэтому для бесконечно удаленного предмета будут справедливы условия нормировки (258):

Последнее равенство относится к бесконечно тонкой системе.

Если оптические силы отдельных линз одинаковые и их общее число 2, то для приведенной системы имеем:

где приведенная оптическая сила линзы с произвольным номером Для этой линзы принята следующая нумерация углов первого вспомогательного луча: для луча, входящего в линзу; — для луча внутри линзы; Для луча, вышедшего из линзы.

Из формулы углов (52) имеем с учетом (517) при получим

Рис. 269. Бесконечно тонкая система из положительных лииз

Так как при то из последней формулы следует:

Таким образом, формулы (518) определяют нечетные значения углов а бесконечно тонкого объектива, состоящего из линз одинаковой оптической силы.

Для определения четных значений углов а рассмотрим выражение первой суммы Зейделя для линзы с номером Для бесконечно тонкого объектива имеем:

Величина при принятой нумерации углов а согласно (251) будет равна:

где

Объектив из положительных линз будет иметь минимальную сферическую аберрацию, если каждая линза рассчитана на минимум сферической аберрации. Дифференцируя выражение (519) по и приравнивая производную нулю, с учетом (518) находим выражение для соответствующее минимальной сферической аберрации каждой линзы:

По формулам (518) и (520) определяют углы первого вспомогательного луча бесконечно тонкого объектива, рассчитанного на минимум сферической аберрации. После определения углов и установления толщин линз по формулам (249) находят радиусы кривизны объектива конечной толщины.

Кома объектива зависит от параметра Ниже приведены значения найденные для бесконечно тонкого объектива, рассчитанного на минимум сферической аберрации, при различном числе линз [37]. Все линзы объектива выполнены из стекла с показателем преломления

Таким образом, при увеличении числа линз значение уменьшается и практически равно нулю при Величина практически постоянна и приблизительно равна 0,15.

Рис. 270. Бесконечно тонкая система с апланатнческими менисками

Рис. 271. Конденсор с апланатнческими менисками

Объектив с аплаиатическими менисками. Принципиальная схема бесконечно тонкого объектива с апланатнческими менисками приведена на рис. 270. Все линзы объектива, кроме первой, являются апланатнческими менисками. Эти линзы не вносят сферической аберрации, и в них выполняется условие синусов. Линейное увеличение мениска с текущим номером Если число менисков в объективе и все они изготовлены из стекла одной марки, то общее увеличение менисков Тогда при условии, что имеем:

Объектив будет иметь минимальную сферическую аберрацию, если его первая линза рассчитана на минимум сферической аберрации. Дифференцируя (519) по и приравнивая производную нулю, с учетом (521) и условия определяем значение соответствующее минимальной сферической аберрации всего объектива:

Остальные значения а вычисляют по линейному увеличению каждого мениска.

Ниже приведены значения бесконечно тонкого объектива с апланатнческими менисками при различном числе линз [37]. Все линзы объектива выполнены из стекла с показателем преломления

Сравнивая значения с аналогичными данными для объектива из линз одинаковой оптической силы, можно заключить, что в объективе с аплаиатическими менисками несколько больше сферическая аберрация, но строже выполняется условие синусов

Конденсор из линз одинаковой оптической силы. Пусть линейное увеличение конденсора из бесконечно тонких линз (рис. 271)

будет тогда с учетом условий нормировки для первого вспомогательного луча имеем Если оптическая сила всего конденсора то согласно формуле углов (52)

Полагая конденсор бесконечно тонким и состоящим из линз одинаковой оптической силы, получаем:

где оптическая сила линзы с текущим номером Согласно (523) и (524) оптическая сила линзы так как для тонкой системы

Используя формулу углов (52) для каждой линзы, находим

Последовательно применяя формулу (525), определяем все нечетные значения а, причем

Для получения минимальной сферической аберрации конденсора необходимо, чтобы каждая линза конденсора имела минимальное значение Дифференцируя (519) по приравнивая производную нулю, находим выражение для соответствующее минимальной сферической аберрации каждой линзы:

Конденсор с апланатическими менисками. Если все линзы конденсора, кроме последней, являются апланатическими менисками, выполненными из стекла одной марки с показателем преломления то при общем числе линз конденсора линейное увеличение менисков числом будет равно:

Если линейное увеличение конденсора, то с учетом (527) параметр первого вспомогательного луча перед последней линзой

Так как апланатические мениски не вносят сферической аберрации, то для получения минимальной сферической аберрации всего конденсора необходимо последнюю линзу рассчитать на минимум сферической аберрации. Это соответствует выполнению условия (526) для последней линзы с номером Учитывая, что и принимая во внимание равенство (528), получаем: