125. Об автоматизированной коррекции оптических систем на ЭВМ

Коррекция оптической системы — это процесс внесения поправок в ее коррекционные параметры в целях получения такого их сочетания, при котором наилучшим образом реализуются выбранные конструктором функции.

Коррекционными параметрами оптической системы могут быть радиусы кривизны, толщины линз и воздушные промежутки, коэффициенты уравнений несферических поверхностей, параметры оптических материалов и т. п. В качестве функций выбирают аберрации лучей, коэффициенты аберраций третьего порядка, монохроматическую или полихроматическую ФПМ, параксиальные величины (фокусные расстояния, фокальные отрезки) и т. п.

При автоматизированной коррекции в ЭВМ по определенной программе осуществляется коррекция оптической системы до получения решения в заданной оптической схеме по выбранным конструктором функциям.

Существующие программы автоматизированной коррекции оптических систем предусматривают активное и творческое участие оптика-конструктора в расчете, ибо конструктор решает такие важные вопросы, как выбор исходной схемы; принципиальные изменения в конструкции, выбор корригируемых функций и коррекционных параметров.

Методы автоматизированной коррекции оптических систем можно подразделить на специализированные методы и методы, в которых используются универсальные программы.

В программах специализированных методов, предназначенных для расчета оптических систем определенного типа, используются формулы и методы, применяемые и при неавтоматизированных расчетах, например формулы теории аберраций третьего

порядка. Широко известны подобные программы для расчета двухлинзовых объективов на ЭВМ различных типов.

Эти программы обеспечивают более высокую (по сравнению с универсальными программами) степень автоматизации расчета, так как для оптических систем определенного типа существует точная аналитическая связь между конструктивными параметрами и аберрациями. Но получаемое единственное решение оказывается точным лишь в третьих порядках аберраций, и оптическая система, в большинстве практических случаев требует «тонкой» доводки методом проб.

При универсальных методах коррекция ведется итерационными способами, т. е. путем последовательных приближений, которые осуществляются решением системы нелинейных уравнений.

Для решения систем нелинейных уравнений применяют [ метод Ньютона, метод наименьших квадратов, градиентные методы и некоторые др.

Метод Ньютона применяют, когда исходная оптическая система близка к заданной. Решая систему уравнений вида

находят требуемые изменения коррекционных параметров при внесении которых в исходную систему получают значения функций не выходящих за пределы заданных интервалов значения функций в исходной системе.

Частные производные определяют либо по точным формулам дифференциальных соотношений, либо способом конечных разностей.

Метод наименьших квадратов дает положительный результат, когда число функций значительно (в 2—3 раза) превышает число коррекционных параметров. При этом нельзя требовать, чтобы все рассматриваемые функции получили бы заданные значения.

При решении этим методом систему условных несовместных уравнений (неизвестных меньше, чем уравнений) прообразуют к системе нормальных линейных уравнений с неизвестными, при решении которой требуется обеспечивать повышенную (по сравнению с методом Ньютона) точность.

Сходимость итераций контролируется с помощью функции связанной с изменениями параметров:

При сходящемся процессе значения функции должны убывать от шага к шагу.

Если число коррекционных параметров равно числу функций, то метод наименьших квадратов автоматически переходит в метод Ньютона.

Метод наименьших квадратов не требует высокой квалификации конструктора и может быть рекомендован на начальной стадии автоматизированного расчета оптических систем.

Если заранее известно, что заданные значения функций одновременно недостижимы, то задачу решают методами минимизации оценочной функции:

где — весовые коэффициенты; текущие значения корригируемых функций (в частности, аберраций); заданные значения корригируемых функций.

Например, в градиентном методе итерация осуществляется в направлении наибольшей скорости уменьшения оценочной функции которое оказывается противоположным направлению градиента, равного отношению где дифференциал оценочной функции, дифференциал «расстояния» в воображаемом пространстве параметров между исходной точкой и точкой с координатами т. е.

Таким образом, градиентный метод автоматизированной коррекции относится к методам минимизации оценочной функции, при которых эту функцию рассматривают как своеобразную характеристику качества изображения.

Оценочная функция связывается с аберрациями оптической системы зависимостью

где весовые коэффициенты, учитывающие влияние каждой из аберраций на качество изображения поперечные аберрации системы.

При автоматизированном расчете по этому методу находят такие значения коррекционных параметров, при которых оценочная функция минимальна.

Минимум оценочной функции в различных методах автоматизированного расчета находят разными способами. Весьма эффективным оказался метод наименьших квадратов, примененный Н. В. Цено при разработке широко известной автоматизированной программы расчета оптических систем.

При автоматизированной коррекции оптических систем универсальными методами (методы Ньютона, наименьших квадратов) получают локальные решения, при достижении которых необходимо осуществлять контроль за сходимостью итерационного процесса. Для предотвращения расходимости итерационного процесса разработаны модификации методов, позволяющие определять не только направление, но и шаг итерации.

Например, известны две модификации метода Ньютона и две модификации метода наименьших квадратов. Причем в первой модификации метода Ньютона шаг выбирается таким образом, чтобы разность между значением функции после итерационного шага и заданным значением т. е. непрерывно убывала по абсолютному значению. При этом ни одна из аберраций не увеличивается по сравнению с аберрациями исходной системы, но сходимость итераций резко замедляется.

Во второй модификации метода Ньютона размер шага определяется с помощью минимизации оценочной функции, что ускоряет сходимость итерационного процесса, однако в этом случае на промежуточных стадиях расчета некоторые аберрации могут усугубиться.

При использовании модификаций метода наименьших квадратов ограничиваются изменения коррекционных параметров на каждом итерационном шаге.

Применяемые в настоящее время методы автоматизированного расчета оптических систем дают хорошие результаты лишь в тех случаях, когда существуют близкие к искомым исходные системы.

Проблема автоматического расчета оптических систем, очевидно, может быть успешно решена на базе развития научных методов, обеспечивающих рациональный выбор конструкции.