Глава VIII. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ

44. Формулы для расчета хода лучей на ЭВМ

Приведенные в гл. II—IV формулы для расчета хода лучей справедливы либо для идеальной оптической системы, либо лишь для параксиальной области реальных оптических систем и для меридиональных лучей. Однако реальные изображения предметов, образуемые оптическими системами, создаются совокупностью ряда лучей, проходящих через оптическую систему в различных сечениях: меридиональном, сагиттальном и так называемых косых. Поэтому, чтобы получить правильное представление об изображении предметов, об аберрациях, а также о размерах самой оптической системы, рассчитывают ход реальных лучей через эту систему. Следует отметить, что этот расчет все еще занимает примерно 50...70% общего времени расчета оптической системы.

В настоящее время ход лучей через оптические системы рассчитывают с помощью ЭВМ по формулам Федера получившим наибольшее распространение. Вывод этих формул приведен в [6, 33], поэтому рассмотрим лишь путь решения этой задачи.

Положение луча на входе в оптическую систему (рис. 98) определяется значениями, направляющих косинусов для вычисления которых необходимо знать положения предметной поверхности (отрезок , плоскости входного зрачка (отрезок ) и координаты точек пересечения луча с этими поверхностями Обозначив получим:

причем направляющий косинус принимается положительным, если направление проекции луча на соответствующую ось совпадает с трложительным направлением оси, и отрицательным, если не совпадает.

Если рассчитывается ход плоского меридионального пучка лучей, то и тогда, обозначив через формулы (230) можно преобразовать к виду:

Рис. 98. Схема для определения направляющих косинусов луча при

В случае бесконечно удаленного предмета, если известны величины и угловое поле определяющие положение луча направляющие косинусы имеют вид:

Конструкция оптической системы задается радиусами кривизны или толщинами показателями преломления На рис. 99 показан ход произвольного луча через поверхности, находящиеся друг от друга вдоль оси на расстоянии и имеющие соответственно радиусы кривизны

Расчет хода любого луча сбстоит из двух шагов. На первом шаге определяют координаты точки пересечения луча с оптической

Рис. 99. Схема для вывода формул расчета хода луча через оптическую поверхность

поверхностью (например, ) по известным координатам точки пересечения этого луча с предыдущей поверхностью и направляющим косинусам этого луча после поверхности. На втором шаге вычисляют направляющие косинусы луча после поверхности. Как видно на рис. 99, в каждом пространстве последовательных изображений установлена особая система координатных осей, начало которых совпадает с вершиной оптической поверхности, ось направлена вдоль оптической оси, ось у — вертикальна и расположена в меридиональной плоскости, а ось перпендикулярна к этой плоскости.

Формулы для расчета хода лучей выводят, используя выражения аналитической геометрии в векторной форме. Точка пересечения луча поверхностью имеет известные координаты а сам известные направляющие косинусы По схемам, приведенным на рис. 99, 100, можно проследить последовательность вывода формул.

По известным координатам точки вычисляют вектор вектор известен. По этим двум векторам находят третий вектор Проведя через точку нормаль к лучу, определяют положение точки и вектор длина которого обозначена

По вычисленным определяют вектор квадрат его абсолютного значения и проекцию этого вектора на ось Далее определяют угол как функцию используя вычисляют вектор вектор и его модуль — так называемую косую толщину

По величинам предварительно вычисляют угол падения как условно обозначаемый в дальнейшем и на основании закона преломления — величину

По векторам находят вектор что позволяет определить координаты точки встречи луча с поверхностью, т. е. На втором шаге решения используются некоторые промежуточные величины равные соответственно показатели преломления, координаты точки известные направляющие косинусы и вычисляются таковые для преломленного луча.

Таким образом, получают следующую последовательность формул для расчета хода лучей через оптическую систему, состоящую из сферических поверхностей:

(см. скан)

Расчет хода луча по приведенным формулам реализован на программируемом микрокалькуляторе (см. программу 10, прил. 2) и завершается вычислением координат точки пересечения луча с последней поверхностью и направляющих косинусов вышедшего из системы луча

Если расстояние от последней поверхности до плоскости, в которой оценивается качество изображения, то координаты точки пересечения луча с этой плоскостью могут быть вычислены по формулам

Расчет хода луча по формулам (231) и 232) реализован также на микрокомпьютере «Электроника 85» (см. прил. 4).

Отметим следующие преимущества рассмотренных формул по сравнению с формулами тригонометрического расчета: отсутствие тригонометрических функций; отсутствие переменных, обращающихся в бесконечность; отсутствие формул, приводящих к потере точности; наличие исключающих необходимость повторных вычислений контрольных соотношений: