24. Расчет хода нулевых лучей

Использование параксиальных лучей для вычисления фокусных расстояний оптической системы связано с большими неудобствами, так как значения высот и углов, входящих в формулы (32) и (33), являются бесконечно малыми. Эти неудобства исключаются введением понятия так называемых нулевых лучей.

Нулевым лучом по предложению проф. В. Н. Чуриловского называют фиктивный луч, преломляющийся (отражающийся) также, как и параксиальный, на главных плоскостях поверхностей, но встречающийся с ними на конечных расстояниях от оптической оси и засекающий на оптической оси те же отрезки, что и параксиальный луч.

В гл. III при расчете хода луча через идеальную оптическую систему фактически было использовано понятие нулевого луча. Полученные формулы углов (51) и высот (53) обеспечивают вычисление хода нулевого луча, в том числе и для определения фокусных расстояний системы при известных оптических силах поверхностей или компонентов.

Заметим, что углы высоты при использовании нулевых лучей близки по значению к углам и высотам, образованным соответствующими реальными лучами, и отличаются от них тем, что обеспечивают получение безаберрационного изображения.

В формуле (51) оптическую силу поверхности заменим ее выражением через конструктивные параметры, относящиеся к этой поверхности. В инварианте преломления (70) положим, что осевая предметная точка находится в бесконечности, т. е. тогда расстояние между верцшной поверхности и изображением бесконечно удаленной точки При выполнении этого условия для поверхности ее оптическая сила

выражается через конструктивные параметры преломляющей сферической поверхности.

Итак, подставив значение оптической силы в формулу (51), получим выражение

которое называется уравнением углов нулевого луча.

Формула (53) сохраняется:

и называется уравнением высот нулевого луча.

Из выражения (77) получим формулу радиуса

которая при заданном ходе луча позволяет вычислить радиусы сферических поверхностей, входящих в оптическую систему.

Для отражающей поверхности формула радиуса имеет вид:

Последовательное использование уравнений (77) и (78) позволяет рассчитать ход нулевого луча через серию преломляющих и отражающих поверхностей.

Расчет хода нулевого луча используется для вычисления заднего фокусного расстояния и заднего фокального отрезка оптической системы, который представляет собой расстояние от последней поверхности до заднего фокуса системы. Угол принимается равным нулю. При этом первое и последующие уравнения углов нулевого луча имеют вид:

Уравнения высот нулевого луча следующие:

Заднее фокусное расстояние и задний фокальный отрезок оптической системы, состоящей из поверхностей (рис. 41), соответственно равны:

Уравнения (77) и (78) при обратном ходе нулевого луча могут быть использованы для определения переднего фокусного расстояния и переднего фокального отрезка оптической системы. При этом последний радиус кривизны принимается за первый, знаки радиусов кривизны меняются на обратные, меняются также номера толщин и показателей преломления, а полученный результат берут с обратным знаком.

Рис. 41. Заднее фокусное расстояние и задний фокальный отрезок

Для расчета хода луча через плоскую преломляющую поверхность, перпендикулярную к оптической оси, радиус кривизны принимают равным бесконечности.

При наличии в оптической системе отражающей поверхности в уравнениях (77) и (78), относящихся к этой поверхности, например, имеющей номер следует учесть, что изменяет свой знак в соответствии с изменением направления распространения отраженного луча.

Обычно уравнения углов и высот нулевого луча имеют вид, несколько отличный от вида уравнений (77) и (78). В этом случае а обозначен через а:

а

Формулы (80) и (81) также изменят свой вид:

Расчетом хода нулевого луча через оптическую систему кроме фокусных расстояний и фокальных отрезков определяют положение изображения и линейное увеличение оптической системы для случая, когда предмет расположен на конечном расстоянии. Для упрощения высоту падения луча на первую поверхность обычно принимают равной ее радиусу и если предмет расположен на конечном расстоянии от оптической системы, то

Отрезок, определяющий положение изображения относительно последней поверхности (задний отрезок), где высота падения нулевого луча на последнюю поверхность, тангенс угла между этим нулевым лучом и оптической осью в пространстве изображений.

Для вычисления линейного увеличения оптической системы следует воспользоваться формулой

получаемой из формул (46) и (47).

В формуле показатели преломления среды пространства предметов и пространства изображений оптической системы, состоящей из поверхностей; тангенсы углов нулевого луча в пространствах предметов и изображений соответственно.

Расчет хода лучей может быть запрограммирован в целях применения Однако при ограниченном количестве просчитываемых лучей для контроля результатов, полученных на а также для лучшего понимания сущности расчета при изучении оптики эти расчеты целесообразно выполнять, например, на клавишных настольных