45. Формулы для расчета хода бесконечно тонких астигматических пучков

Бесконечно тонкими пучками лучей называют пучки, лучи которых распространяются под весьма малыми углами друг к другу. Их называют также элементарными, так как их лучи заполняют в зрачках элементарные площадки. Для осевой предметной точки А (рис. 101) — это параксиальные лучи, которые не нарушают своей гомоцентричности и после оптической системы образуют точечное (стигматическое) изображение

Главный луч осевого бесконечно тонкого пучка проходит через центр кривизны оптической поверхности, и поэтому элементы поверхности в меридиональном и в сагиттальном направлениях имеют одинаковые радиусы кривизны

Если предметная точка В располагается вне оси (рис. 102), то условия прохождения бесконечно тонких пучков лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях различные. Главный луч, Относительно которого симметрично располагаются остальные

Рис. 101. Образование стигматического изображения

Рис. 102. Образование астигматического изображения

лучи, в общем случае не проходит через центр кривизны оптической поверхности, поэтому элемент поверхности для этого пучка лучей имеет в направлениях различные радиусы кривизны Выходящий волновой фронт, соответствующий этому наклонному элементарному пучку, перестает быть сферическим. При этом лучи пучка, расположенные в меридиональной и в сагиттальной плоскостях, пересекаются с главным лучом в различных точках, не совпадающих с идеальным изображением .

В плоскости изображения, проходящей через точку схождения лучей меридионального пучка, лучами сагиттального пучка вместо точки образуется горизонтальный отрезок, а в плоскости изображения, проходящей через точку схождения лучей сагиттального пучка, лучами меридионального пучка образуется вертикальный отрезок.

Явление, в результате которого изображение точки получается в виде двух взаимно перпендикулярных прямых отрезков, расположенных в различных плоскостях, называется астигматизмом (неточечностью), а - пучок лучей, образующий такое изображение, называют элементарным астигматическим.

Явление астигматизма в оптических системах нежелательно, так как при этом качество изображения внеосевых точек, образованных даже бесконечно узкими пучками лучей, оказывается низким. Влияние астигматизма на качество изображения внеосевой точки можно оценить по астигматической разности При меридиональный и сагиттальный узкие пучки образуют точечное изображение.

Положение изображений точек находят путем расчета хода бесконечно тонких астигматических пучков через оптическую систему.

На рис. главный луч элементарного наклонного пучка лучей, падающий на сферическую поверхность с радиусом кривизны из внеосевой точки В. Расстояние от точки пересечения главного луча с поверхностью до точки В вдоль луча обозначим . Чтобы образовать элементарный пучок в меридиональной плоскости, возьмем бесконечно близкий луч идущий в точку и составляющий с главным угол После поверхности эти

Рис. 103. Схема для вывода формулы Аббе — Юнга меридионального пучка лучей

лучи пересекаются в точке на главном луче, которая отстоит вдоль луча от поверхности на расстоянии Поверхность разделяет оптические среды с показателями преломления

Полагая известными или легко определяемыми величины найдем связь между для чего воспользуемся формулой закона преломления

Очевидно, что при изменении угла между главным лучом и осью на бесконечно малую величину углы падения и преломления также изменятся. Дифференцируя уравнения закона преломления, получаем

По рис. 103 находим, что следовательно, Полагая величины и другие приращения бесконечно малыми, будем считать, что угол угол Из треугольника следует откуда следовательно,

Из треугольника получим откуда следовательно,

Подставляя (234), (235) в (233), окончательно получаем формулу Аббе-Юнга для меридионального пучка лучей:

На рис. также главный луч элементарного наклонного пучка лучей, падающий на сферическую поверхность с радиусом кривизны из внеосевой точки В. Расстояние от точки пересечения главного луча с поверхностью до точки В вдоль луча обозначим

Чтобы образовать элементарный пучок, но уже в сагиттальной плоскости, повернем луч относительно линии на бесконечно малый угол и получим в сагиттальной плоскости бесконечно близкий луч После поверхности лучи и пересекаются в точке которая должна лежать на линии Чтобы

Рис. 104. Схема для вывода формулы Аббе — Юнга сагиттального пучка лучей

найти связь между величинами опустим на линию перпендикуляры из точек и получим точки

Как следует из рис. 104,

Из подобия треугольников и находим, что

где

Из формул учитывая, что получим:

Откуда, освобождаясь от знаменателя и деля обе части на произведение получаем формулу Аббе-Юнга для сагиттального пучка лучей:

По. полученным формулам (236) и (240) рассчитывают ход лучей бесконечно тонкого астигматического пучка через одну сферическую поверхность. При расчете хода лучей такого пучка через оптическую систему, состоящую из поверхностей, необходимо учитывать так называемую косую толщину равную расстоянию между поверхностями вдоль главного луча, которая может быть вычислена при расчете хода главного луча. На рис. 105 показан ход главного луча между поверхностями оптической системы.

Рис. 105. Схема определения «косой» толщины

Угол между главным лучом и оптической осью между поверхностями высоты точек пересечения главного луча с поверхностями соответственно Из рис. 105 следует, что «косая» толщина

Пусть точка схода меридионального бесконечно тонкого пучка лучей после поверхности, находящаяся от нее на расстоянии Чтобы продолжить расчет хода этого пучка лучей через поверхность, необходимо определить из следующей формулы:

Аналогично для сагиттального пучка получим

При расчете хода лучей тонкого астигматического пучка на ЭВМ удобнее использовать формулы (236) и (240), преобразованные к другому виду. Для этого вначале представим эти формулы для поверхности в следующем виде:

Вернемся к обозначениям, принятым в схеме Федера [см. формулы и введем величины

Формулы Аббе-Юнга в преобразованном виде имеют следующий вид:

Последовательное применение формул (241) в системе из поверхностей позволяет вычислить величины (рис. 106):

Рис. 106. Схема для определения координат лучей астягмати ческого пучка в плоскости изображения

и по аналогии

где направляющий косинус главного луча.