23. Инвариант Гюйгенса-Гельмгольца

Рассмотрим получение изображения В внеосевой точки В с помощью сферической преломляющей поверхности с радиусом (рис. 39). Точка В находится в плоскости, перпендикулярной к оптической оси и пересекающей ее в точке А.

С помощью параксиального луча, образующего с оптической осью угол а, построим изображение А точки А. Для этого, зная угол и показатели преломления по формуле (69) вычислим угол преломления и отложим его. Преломленный луч в пересечении с оптической осью даст точку А. Проведем луч через точку В в центр С преломляющей сферы. Отметим на этом луче точку находящуюся на том же расстоянии от центра С, что и точка А. Изображение точки на основе полной тождественности точек находится на том же расстоянии от центра С, что и изображение А точки А.

Итак, для одной сферической преломляющей поверхности сопряженными элементами являются две сферические поверхности, концентричные преломляющей сфере.

Радиус сферы-предмета и радиус сферы-изображения связаны зависимостью, получаемой, например, из формулы (67):

где согласно равенству

При дифференцировании зависимости (73) получим, что

Следовательно, при увеличении (см. рис. 39) абсолютное значение уменьшается отрицательная величина).

Таким образом, изображение точки В (точка В) находится на расстоянии от центра С. Отсюда, следует, что использование сферической преломляющей поверхности при конечном размере предмета, перпендикулярного к оптической оси, не

Рис. 39. Образование изображения одной сферической поверхностью

Рис. 40. Схема для вывода инварианта Гюйгенса — ельмгольца

обеспечивает получения его изображения, также перпендикулярного к оптической оси.

Изложенное выше позволяет заключить, что две плоскости, перпендикулярные к оптической оси, будут сопряженными элементами пространства предметов и пространства изображений толькр в параксиальной области.

На рис. 40 показано построение изображения у малого отрезка у, перпендикулярного к оптической оси, с помощью сферической поверхности с центром С, разделяющей две среды с показателями преломления Луч, проходящий через вершину отрезка у и центр С сферической поверхности, не преломляется и в пересечении с прямой, перпендикулярной к оптической оси и расположенной на расстоянии от вершины О сферической поверхности, отсекает от этой прямой отрезок у, являющийся изображением отрезка у.

Размер изображения у при его построении определяется проведением падающего луча через вершину О сферической поверхности под углом и преломленного луча под углом к оптической оси. Согласно закону преломления для параксиальной области

Из рис. 40 имеем — или, используя закон преломления, получим откуда следует

Равенство (74) известно как инвариант Гюйгенса— Гельмгольца.

Так как [см. формулу (34)], то из равенства (74) получим:

Инвариант (74) и формулу (75) можно распространить на любое число преломляющих сферических и несферических поверхностей.

Если оптическая система состоит из поверхностей, то инвариант имеет следующий вид:

где индекс 1 относится к пространству предметов первой поверхности, а индекс к пространству изображений последней поверхности.

Для отражающей поверхности () формула, соответствующая инварианту Гюйгенса-Гельмгольца, будет следующей: