50. Сферическая аберрация

Рассмотрим даваемое оптической системой изображение Точки, расположенной на оптической оси. Так как оптическая система обладает круговой симметрией относительно оптической оси, то достаточно ограничиться выбором лучей, лежащих в меридиональной плоскости. На рис. 113 показан ход лучей, характерный для положительной одиночной линзы. Положение

Рис. 113. Сферическая аберрация положительной лннзы

Рис. 114. Сферическая аберрация для точки вне оси

идеального изображения предметной точки А определяется параксиальным лучом, пересекающим оптическую ось на расстоянии от последней поверхности. Лучи, образующие с оптической осью конечные углы не приходят в точку идеального изображения. Для одиночной положительной линзы, чем больше абсолютное значение угла тем ближе к линзе луч пересекает оптическую ось. Это объясняется неодинаковой оптической силой линзы в ее различных зонах, которая увеличивается по мере удаления от оптической оси.

Указанное нарушение гомоцентричности вышедшего пучка лучей можно характеризовать разностью продольных отрезков для параксиальных лучей и для лучей, проходящих через плоскость входного зрачка на конечных высотах: Эта разность называется продольной сферической аберрацией.

Наличие сферической аберрации в системе приводит к тому, что вместо резкого изображения точки в плоскости идеального изображения получается кружок рассеяния, диаметр которого равен удвоенному значению Последнее связано с продольной сферической аберрацией соотношением

и называется поперечной сферической аберрацией.

Следует отметить, что при сферической аберрации сохраняется симметрия в вышедшем из системы пучке лучей. В отличие от других монохроматических аберраций сферическая аберрация имеет место во всех точках поля оптической системы, причем при отсутствии других аберраций для точек вне оси вышедший из системы пучок лучей будет оставаться симметричным относительно главного луча (рис. 114).

Приближенное значение сферической аберрации можно определить по формулам аберраций третьего порядка через

Для предмета, расположенного на конечном расстоянии, как следует из рис. 113,

В пределах действенности теории аберраций третьего порядка можно принять

Если положить, что то согласно условиям нормировки получим

Тогда по формуле (253) найдем, что поперечная сферическая аберрация третьего порядка для предметной точки, расположенной на конечном расстоянии,

Соответственно для продольной сферической аберраций третьего лорядка при допущении согласно (262) и (263) получим

Формулы (263) и (264) справедливы и для случая предмета, расположенного в бесконечности, если вычислена при условиях нормировки (256), т. е. при реальном фокусном расстоянии.

В практике аберрационного расчета оптических систем при вычислении сферической аберрации третьего порядка удобно пользоваться формулами, содержащими координату луча на входном зрачке. Тогда при согласно (257) и (262) получим:

если вычислена при условиях нормировки (256).

Для условий нормировки (258), т. е. для приведенной системы, согласно (259) и (262) будем иметь:

Из приведенных выше формул следует, что при данной сферическая аберрация третьего порядка тем больше, чем больше координата луча на входном зрачке.

Так как сферическая аберрация присутствует для всех точек поля, то при аберрационной коррекции оптической системы первостепенное внимание уделяют исправлению сферической аберрации. Наиболее простой оптической системой со сферическими поверхностями, в которой можно уменьшить сферическую аберрацию, является комбинация положительной и отрицательной линз. Как у положительной, так и у отрицательной линз крайние зоны преломляют лучи сильнее, чем зоны, расположенные вблизи оси (рис. 115). Отрицательная линза имеет положительную сферическую аберрацию. Поэтому комбинация положительной линзы, имеющей отрицательную сферическую аберрацию, с отрицательной линзой позволяет получить систему с исправленной сферической аберрацией. К сожалению, устранить сферическую аберрацию можно только для некоторых лучей, но нельзя ее полностью исправить в пределах всего входного зрачка.

Рис. 115. Сферическая аберрация отрицательной линзы

Таким образом, любая оптическая система всегда имеет остаточную сферическую аберрацию. Остаточные аберрации оптической системы обычно представляют в виде таблиц и иллюстрируют графиками. Для предметной точки, расположенной на оптической оси, приводятся графики продольной и поперечной сферических аберраций, представленные в виде функций координат, или

Кривые продольной и соответствующей ей поперечной сферической аберрации показаны на рис. 116. Графики на рис. 116, а соответствуют оптической системе с недоисправленной сферической аберрацией. Если для такой системы ее сферическая аберрация определяется только аберрациями третьего порядка, то согласно формуле (264) кривая продольной сферической аберрации имеет вид квадратичной параболы, а кривая поперечной аберрации — кубической параболы. Графики на рис. 116, б соответствуют оптической системе, у которой сферическая аберрация исправлена для луча, проходящего через край входного зрачка, а графики на рис. 116, в — оптической системе с перенаправленной сферической аберрацией. Исправление или переисправление сферической аберрации можно получить, например, комбинируя положительную и отрицательную линзы.

Поперечная сферическая аберрация характеризует кружок рассеяния, который получается вместо идеального изображения точки. Диаметр кружка рассеяния для данной оптической системы зависит от выбора плоскости изображения. Если эту плоскость сместить относительно плоскости идеального изображения (плоскости Гаусса) на величину (рис. 117, а), то в смещенной плоскости получим поперечную аберрацию связанную с поперечной аберрацией в плоскости Гаусса зависимостью

В формуле (266) слагаемое на графике поперечной сферической аберрации, построенном в координатах является прямой, проходящей через начало координат. При

Рис. 116. Графическое представление продольной и поперечной сферических аберраций

Рис. 117. Определение плоскости изображения, соответствующей минимальной сферической аберрации

имеем график поперечной сферической аберрации для плоскости Гаусса.

Если на графике поперечной сферической аберрации через начало координат провести прямую (рис. 117, б) так, чтобы кривая аберрации имела наименьшие отступления от этой прямой, то эта прямая будет соответствовать плоскости изображения с минимальным кружком рассеяния. Смещение плоскости изображения относительно плоскости Гаусса определяется зависимостью где координаты люой точки, взятой на прямой

Продольная сферическая аберрация может быть представлена многочленом, содержащим четные степени параметра или

где коэффициент а определяется через 5? и характеризует аберрацию третьего порядка, коэффициент характеризует аберрацию пятого порядка, с — седьмого порядка и т. д.

Для многих оптических систем их продольная сферическая аберрация достаточно точно определяется двумя первыми слагаемыми формулы (267):

Если сферическая аберрация исправлена для края зрачка то откуда получаем

Дифференцируя выражение (268) по определим значение высоты при котором сферическая аберрация имеет экстремальное значение

Учитывая зависимости (269), найдем высоту луча на зоне, для которой продольная сферическая аберрация имеет максимальное значение:

Поэтому для оценки состояния коррекции сферической аберрации ее вычисляют для лучей, проходящих на зонах (см. п. 46).