117. Аберрации оптических систем с иесферическими поверхностями

Несферические оптические поверхности несравнимо разнообразнее сферических по своим видам и свойствам, поэтому применение несферических поверхностей в оптических системах позволяет эффективнее решать задачу дальнейшего улучшения качества изображения, повышения оптических характеристик и совершенствования конструкции оптических приборов, уменьшения их размеров и массы, достижения компактности.

Известно, например, что параболическое зеркало образует близкое к идеальному изображение бесконечно удаленной осевой точки; эллипсоидное зеркало изображает без ошибок осевую точку, расположенную на конечном расстоянии, и т. п. С помощью одиночной линзы со сферическими поверхностями не удается получить идеальное действительное изображение осевой точки, но если лишь одну из поверхностей этой линзы сделать несферической, то изображение осевой точки будет идеальным.

В п. 11 и 12 приведены формулы расчета хода лучей через несферические поверхности, заданные различными видами уравнений, например:

где радиус кривизны поверхности у вершины;

С широким внедрением в практику оптических исследований быстродействующих ЭВМ расчет хода лучей практически через любые несферические поверхности перестал быть проблемой.

Наибольшее распространение получили несферические поверхности второго порядка. Формулы аберраций III порядка для оптических систем с несферическими поверхностями второго порядка имеют такой же вид, как и формулы (250), приведенные в п. 48, но выражения для сумм представляются в следующем виде:

где суммы аберраций III порядка оптической системы со сферическими поверхностями; поправки к соответствующим суммам, вызванные введением несферических поверхностей:

так как кривизна асферическими поверхностями не исправляется,

где коэффициент деформации, равный квадрату эксцентриситета несферической поверхности второго порядка с обратным знаком:

Применение несферических поверхностей в области аберраций III порядка дает на каждый компонент одну степень свободы, поэтому при исправлении аберраций в общем случае следует вводить несферических поверхностей.

Например, как указывалось выше, для исправления сферической аберрации в одиночной линзе достаточно ввести одну несферическую поверхность, причем, если эта поверхность должна быть эллипсоидной, а если

Рис. 267. Анаберрационная линза с первой эллипсоидальной поверхностью

Рис. 268. Двухзеркальиые системы: а — к выводу формул эксцевтрнсятетов; к решению в параметрическом виде

гиперболоидной. Пусть требуется определить эксцентриситет этой поверхности Как известно, вторая поверхность в этом случае должна быть сферической с центром кривизны в заднем фокусе линзы (рис. 267). В первом приближении можно считать линзу тонкой. Для обычных условий нормировки имеем Из теории аберраций известно, что для тонкой линзы из стекла с показателем преломления первая сумма может быть вычислена по формуле т. е. Сферическая аберрация исправлена, если тогда в соответствии с формулой или

откуда

Рассмотрим порядок определения эксцентриситетов обоих зеркал в двухзеркальной системе, когда в области аберраций III порядка требуется, например, исправить две аберрации — сферическую и кому. Такая степень исправления, как известно, называется апланатической Выберем в качестве основных параметров (рис. 268, а) угол первого вспомогательного луча между зеркалами и высоту этого луча на втором зеркале.

Выражения сумм аберраций третьего порядка в двухзеркальной системе с несферическими поверхностями второго порядка могут быть представлены в следующем виде:

где суммы аберраций III порядка двухзеркальной системы из сферических зеркал.

Формулы (511) написаны для случая, когда входной зрачок совпадает с первой поверхностью при этом, как известно, указанная поверхность может повлиять лишь на сферическую аберрацию, поэтому эксцентриситет входит лишь в выражение первой суммы

Исходя из условия достижения апланатической степени коррекции и решая первые два уравнения, из формул (511) найдем:

В общем случае могут быть исправлены другие две аберрации.

По полученным значениям эксцентриситетов можно определить максимальное отступление несферической поверхности от сферы: и выбрать способ её изготовления.

По формулам (512) можно рассчитать двухзеркальную апланатическую систему лишь в области аберраций III порядка с относительным отверстием менее В светосильных двухзеркальных системах с относительными отверстиями порядка апланатическая степень коррекции достигается при использовании несферических поверхностей высших порядков.

Задача по расчету двухзеркальной апланатической системы была впервые решена К. Шварцшильдом, а затем независимо друг от друга Д. Д. Максутовым и Г. Кретьеном. До настоящего времени эта задача сохраняет свою актуальность. Ниже представлено одно из решений в параметрическом виде (см. рис. 268, б). Для луча, проходящего через точки соответственно большого и малого зеркал, условие безаберрационного изображения представляется в виде:

Введя параметр получим:

При фокусном расстоянии условие синусов запишем

Из совместного решения уравнений получим координаты поверхностей двухзеркальной апланатической системы в зависимости от параметра и двух постоянных величин

где

Решение по формулам (516) реализовано на программируемом микрокалькуляторе (см. прил. 2). В результате расчета нескольких лучей получают координаты точек поверхностей зеркал.

Аппроксимация точек поверхностей зеркал выполняется одним из известных методов.

Пример. Для светосильной ( двухзеркальной системы с фокусным расстоянием получены следующие уравнении поверхностей зеркал:

Результаты расчета аберраций сведены в табл. 16.

Таким образом, точка изображается на дифракционном уровне при хорошем выполнении условия синусов.

На практике иногда приходится пересчитывать оптические системы по подобию с учетом коэффициента подобия К, равного отношению требуемого фокусного расстояния к фокусному расстоянию исходной оптической системы с несферическими поверхностями С учетом коэффициента подобия уравнения кривых меридионального сечения несферических поверхностей принимают вид:

Пример. Зеркало с имеет несфернческую поверхность, описываемую уравнением

Требуется получить несферическое зеркало с фокусным расстоянием Коэффициент подобии и уравнение нового несферического зеркала будет иметь

Таблица 16 (см. скан) Таблица аберраций двухзеркальиой системы