53. Астигматизм и кривизна поверхности изображения

Рассмотрим изображение точки, расположенной вне оси, пучками лучей, проходящих в двух взаимно перпендикулярных сечениях — меридиональном и сагиттальном (рис. 120). При этом будем считать, что оба пучка, выходящие из внеосевой точки В, бесконечно близки к главному лучу, т. е. опираются на

Рис. 120. Структура астигматического пучка

отверстие малого диаметра в плоскости входного зрачка. Так как кривизны сферических поверхностей для этих взаимно перпендикулярных пучков оказываются неодинаковыми, то точки схода меридионального и сагиттального пучков по выходе из оптической системы получаются в разных местах. Расстояние по оптической оси от плоскости идеального изображения (точка ) до точек схода меридионального и сагиттального пучков соответственно обозначают Эти расстояния рассчитывают по формулам (241).

Аберрация для точки вне оси, когда ее, изображения, образуемые меридиональными и сагиттальными пучками, лежат в разных местах, называется астигматизмом. Эту аберрацию характеризуют разностью отрезков и называют астигматической разностью.

Из рис. 120 следует, что при наличии астигматизма в месте схода меридионального пучка получается горизонтальный отрезок, в месте схода сагиттального пучка — вертикальный отрезок. В плоскости Гаусса изображение точки в данном случае представляет собой эллипс, большая ось которого вертикальна. Если плоскость изображения перемещать от точки к точке то при разных ее положениях изображение точки будет представлять собой горизонтальную линию, эллипс, большая ось которого горизонтальна, — кружок правильной формы, эллипс, большая ось которого вертикальна, — вертикальную линию. Пучки лучей, дающие такого вида изображение, называются астигматическими.

Для случая протяженного объекта, например, участка плоскости, нужно рассматривать совокупность точек этого объекта, каждая из которых изображается астигматическими пучками лучей. Если объектом является отрезок прямой А В длиной у, расположенный в меридиональной плоскости (рис. 121), то каждой точке этого отрезка будут соответствовать меридиональное и сагиттальное изображения. Соединяя полученцые точки, получим кривые являющиеся соответственно меридиональным и сагиттальным изображением предмета у. Если кривые вращать вокруг оптической оси, то получим

Рис. 121. Изображения отрезков, образуемых астигматическими пучками

астигматические поверхности вращения, касательные к плоскости Гаусса в точке А на оси.

Между кривыми изображений проходит средняя кривая изображения у. На поверхности изображения, которая получается при вращении вокруг оптической оси кривой у, каждая точка предмета у изображается в виде кружка правильной формы.

Таким образом, наличие в оптической системе аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображения при условии, что изображение проецируется на плоскость, приводит к нерезкому изображению точек. Эта нерезкость увеличивается по мере удаления точки от оптической оси. Отметим характерные особенности изображения, создаваемого системой, имеющей астигматизм, для случая, когда объектом является двумерная фигура (рис. 122, а). Элементарные меридиональные пучки, изображающие каждую точку в виде линий (рис. 122, б), перпендикулярных к различно ориентированным меридиональным плоскостям, дадут резкое изображение окружности, так как элементарные отрезки меридиональных изображений, налагаясь друг на друга, не нарушат резкости изображения; изображения точек, принадлежащих радиусам, будут получаться в виде элементарных линий, перпендикулярных к радиусам, причем длина этих линий будет возрастать по мере удаления от оптической оси. Элементарные сагиттальные пучки будут изображать каждую точку объекта в виде линий, перпендикулярных к различно ориентированным

Рис. 122. Изображение плоской фигуры астигматическими пучками

Рис. 123. Графическое представление астигматизма и кривизны поверхности изображений

сагиттальным плоскостям, т. е. не исказят изображений радиусов, а изображения окружностей будут представлять собой элементарные радиальные отрезки, длина которых увеличивается по мере их удаления от оптической оси (рис. 122, б).

Астигматизм и кривизну поверхности изображения оптической системы обычно характеризуют величинами которые сводятся в таблицы и иллюстрируются графиками. По оси ординат откладывают углы для главных лучей, выходящих из различных точек предмета, или линейный размер предмета у, а по оси абсцисс — отрезки

Различные случаи коррекции астигматизма и кривизны поверхности изображения иллюстрирует рис. 123. При наличии в системе астигматизма и кривизны поверхности изображения (под последней понимается средняя кривая расположенная между кривыми даже при отсутствии астигматизма изображение по полю плоской поверхности получается нерезким (рис. 123, а). На рис. 123, б показан случай исправления кривизны поверхности изображения при неисправленном астигматизме.

Для получения резкого изображения в пределах всего поля необходимо исправить и астигматизм и кривизну поверхности изображения. В таких системах, называемых анастигматами, астигматизм и кривизна поверхности изображения, практически полностью исправляются для некоторого угла поля и имеют допустимые значения в пределах всего поля оптической системы. График остаточных аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображений объектива-анастигмата «Индустар», у которого обе аберрации практически полностью исправлены для угла поля до и сравнительно невелики на самом краю поля, показан на рис. 123, в.

Приближенные значения аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображения можно вычислить по формулам

аберраций третьего порядка. Эти аберрации определяются через суммы Зейделя

Рис. 124. Схема для вывода формул астигматизма и кривизны поверхности изображений

Рассмотрим соотношения для плоского меридионального пучка, выходящего из внеосевой предметной точки В, расположенной в бесконечности (рис. 124). Меридиональная составляющая поперечной аберрации третьего порядка для бесконечно удаленного предмета при условиях нормировки (258) и неравенстве нулю и определяется согласно (259):

если предмет и изображение в воздухе, т. е.

Из рассмотрения подобных треугольников в пространстве изображений согласно рис. 124 имеем:

Учитывая, что и подставляя в последнюю формулу из (275), получаем

Аналогичные рассуждения позволяют, пользуясь выражением для сагиттальной составляющей поперечной аберрации третьего порядка, получить из (259)

Тогда астигматическая разность

Таким образом, астигматизм пропорционален квадрату углового поля оптической системы. Для его исправления в области аберраций третьего порядка необходимо выполнить условие В этом случае обе астигматические поверхности сливаются и согласно (276) и (277)

т. е. коэффициент определяет аберрацию кривизны поверхности изображений при исправленном астигматизме.