11. Преломление лучей несферической поверхностью

Преимущества, которыми обладают оптические системы с несферическими поверхностями вследствие наличия у них дополнительных по сравнению с обычной сферической оптикой расчетных параметров, достаточно широко и давно известны. Трудности изготовления и контроля несферических поверхностей успешно преодолеваются [11, 27).

Наиболее простыми в изготовлении и поэтому чаще других применяемыми в оптических системах являются поверхности второго порядка (параболоид, эллипсоид, гиперболоид). Рассмотрим преломление лучей поверхностью второго порядка, меридиональное сечение которой показано на рис. 18.

М. М. Русинов для определения хода луча после его преломления поверхностью второго порядка предложил способ, основанный на решении системы из двух уравнений [30). Одним из уравнений системы является уравнение профиля поверхности, другим — уравнение прямой — луча, падающего на эту поверхность.

Если уравнение профиля поверхности, вершина О которой совпадает с началом координат, задано в виде

(случай соответствует эллипсу, гиперболе и параболе), а уравнение луча — в виде

то после исключения ординаты получаем

а при исключении абсциссы

Так как абсцисса точки встречи луча с поверхностью обычно мала (по абсолютному значению), то для большей

Рис. 18. Преломление луча поверхностью второго порядка

точности вычислений целесообразно ординату у определять из уравнения (21):

Коэффициенты входящие в уравнение луча (20), соответственно равны

Значение коэффициента в уравнении (19) равно удвоенному радиусу кривой меридионального сечения в ее вершине:

Учитывая (23) и (24), уравнение (22) можно записать в следующем виде:

Абсцисса точки встречи определяется по уравнению луча (20).

Если меридиональное сечение поверхности представляет собой параболу, то решение (25) будет более простым, а именно:

При известных координатах точки встречи угол между нормалью к поверхности в этой точке и осью получается из выражения которое в общем случае будет иметь вид:

Из рис. 18 находим, что

В соответствии с законом преломления угол преломления рассчитывают по формуле

Угол между преломленным лучом и оптической осью

Отрезок определяющий положение изображения А точки А, будет равен

Таким образом, последовательное использование полученных формул дает возможность решить задачу расчета хода луча после его преломления поверхностью второго порядка. Этот же способ

Рис. 19. Отражение луча поверхностью второго порядка

применим и для поверхностей высших порядков. Исходными данными для последующей поверхности являются полученные значения