5. Однородность по скоростям

Теория принимает особенно простой вид в случае, когда лагранжиан однороден первой степени по скоростям. Тогда определяемые соотношением (2.2) импульсы однородны нулевой степени по q и зависят поэтому только от отношений q. Поскольку имеется N импульсов р и только N — 1 независимых отношений q, теперь р не могут быть независимыми функциями q, и должно существовать хотя бы одно соотношение (2.4), связывающее q и р. Случай, когда имеется только одно соотношение между q и р, можно считать теперь стандартным. Из теоремы Эйлера мы имеем

и, следовательно,

так что

Это слабое уравнение, справедливое в области R, позволяет нам взять , так что (3.5) переходит в

(5.3)

Общее уравнение движения (4.5) теперь имеет вид

Гамильтоновы уравнения движения полностью фиксированы теперь уравнениями

Правая часть уравнения (5.4) однородна по v. Взяв любое решение уравнений движения, можно получить из него другое решение, домножив все v на множитель , произвольно меняющийся со временем. Скорость изменения всех динамических переменных в новом решении будет домножена на . Новое решение получится из предыдущего, если время t заменить новой независимой переменной , такой, что . Новая независимая переменная совершенно произвольна: она может быть любой функцией t, а также q и q. Итак, взяв любое решение уравнений движения, мы можем получить из него другое решение, заменив t произвольной , так что уравнения движения не дают нам никакой информации о независимой переменной. В этом состоит важная черта динамической теории с однородностью по скоростям, предоставляющая особые удобства для релятивистской формулировки.

Лагранжиану любой динамической системы можно придать однородность по скоростям, взяв время t дополнительной координатой до и воспользовавшись уравнением чтобы добиться однородности первой степени по всем скоростям, включая Как было показано автором [1], после этого можно вывести новые лагранжевы уравнения движения для всех q. Так мы можем получить новую формулировку в «однородных скоростях» для общей динамической системы. Новая формулировка даст все уравнения старой, за исключением уравнения . Если в новой формулировке желательно его иметь, мы можем считать его дополнительным условием, не выводимым из уравнений движения, но согласованным с ними. Однако мы вполне можем обойтись и без него, так как его роль сводится лишь к фиксации независимой переменной, которая без этого в «однородной» формулировке была бы произвольной.

Таким образом, мы можем без потери общности ограничиться теорией с однородностью по скоростям. Поскольку она приводит к несколько более простым уравнениям, в дальнейшем мы и сделаем это. Точка будет обозначать дифференцирование по произвольной независимой переменной .