13. Динамика малых масс.

В предыдущем разделе была показана возможность применения процедуры Дирака для описания лагранжевых (или гамильтоновых) динамических систем с голономными связями. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различными способами реализации связей [4].

Так голономная механика получается при надлежащем переходе в потенциальной функции, неголономная механика — в силах вязкого трения (функция Релея). Механика Дирака на физическом уровне может быть интерпретирована как механика малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии — некоторые из инерционных характеристик стремятся к нулю. При этом он не затрагивает потенциала, и в этом смысле механика Дирака является механикой малых масс. Более подробное обсуждение содержится в п. 16, 17, здесь мы ограничимся одним примером.

Рассмотрим систему двух частиц в трехмерном пространстве с функцией Лагранжа

Уравнения движения имеют вид

Если масса второй частицы стремится к нулю , то функция Лагранжа оказывается вырожденной по , а в уравнениях движения пропадает ускорение . Уравнения (13.2) при разрешимы лишь при условии

Определяя канонические импульсы

получим, что условия разрешимости относительно эквивалентны связям:

(13.5)

Функция Гамильтона не зависит от :

а уравнения движения с неопределенными множителями примут вид

Условие сохранения связи может быть представлено в виде

Условие его разрешимости (вторичная связь) совпадает с (13.3). В общем случае матрица невырождена, поэтому с помощью скобки Дирака (13.2) на поверхности уровня получим непротиворечивые уравнения движения, допускающие единственное решение удовлетворяет также уравнению (13.2) при .

Замечание 8. Уравнения (13.8) допускают произвол в определении который тем не менее не сказывается на векторном поле (13.7), определенном на поверхности уровня связей .

Если магнитное поле постоянно

и энергия взаимодействия зависит лишь от взаимного расстояния , то уравнения (13.2) при допускают гамильтоново описание с невырожденной скобкой.

Выберем ось OZ вдоль поля, из (13.2) находим . Проекция движения частиц на плоскость XY описывается уравнениями

Уравнения (13.9) гамильтоновы относительно скобки Пуассона

с функцией Гамильтона

Замечание 9. Переход от гамильтоновой системы со связями к эквивалентной (вырожденной) лагранжевой системе возможен в случае разрешимости системы

относительно неизвестных . При этом функция Лагранжа находится обычным преобразованием Лежандра — . Несложно проверить, что для указанного примера двух частиц это преобразование приводит к исходному лагранжиану (13.1). В общем случае система (13.10) не допускает решения (аналогично случаю неголономных систем, не допускающих гамильтонова представления).