Главная > Лекции по теоретической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13. Динамика малых масс.

В предыдущем разделе была показана возможность применения процедуры Дирака для описания лагранжевых (или гамильтоновых) динамических систем с голономными связями. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различными способами реализации связей [4].

Так голономная механика получается при надлежащем переходе в потенциальной функции, неголономная механика — в силах вязкого трения (функция Релея). Механика Дирака на физическом уровне может быть интерпретирована как механика малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии — некоторые из инерционных характеристик стремятся к нулю. При этом он не затрагивает потенциала, и в этом смысле механика Дирака является механикой малых масс. Более подробное обсуждение содержится в п. 16, 17, здесь мы ограничимся одним примером.

Рассмотрим систему двух частиц в трехмерном пространстве с функцией Лагранжа

Уравнения движения имеют вид

Если масса второй частицы стремится к нулю , то функция Лагранжа оказывается вырожденной по , а в уравнениях движения пропадает ускорение . Уравнения (13.2) при разрешимы лишь при условии

Определяя канонические импульсы

получим, что условия разрешимости относительно эквивалентны связям:

(13.5)

Функция Гамильтона не зависит от :

а уравнения движения с неопределенными множителями примут вид

Условие сохранения связи может быть представлено в виде

Условие его разрешимости (вторичная связь) совпадает с (13.3). В общем случае матрица невырождена, поэтому с помощью скобки Дирака (13.2) на поверхности уровня получим непротиворечивые уравнения движения, допускающие единственное решение удовлетворяет также уравнению (13.2) при .

Замечание 8. Уравнения (13.8) допускают произвол в определении который тем не менее не сказывается на векторном поле (13.7), определенном на поверхности уровня связей .

Если магнитное поле постоянно

и энергия взаимодействия зависит лишь от взаимного расстояния , то уравнения (13.2) при допускают гамильтоново описание с невырожденной скобкой.

Выберем ось OZ вдоль поля, из (13.2) находим . Проекция движения частиц на плоскость XY описывается уравнениями

Уравнения (13.9) гамильтоновы относительно скобки Пуассона

с функцией Гамильтона

Замечание 9. Переход от гамильтоновой системы со связями к эквивалентной (вырожденной) лагранжевой системе возможен в случае разрешимости системы

относительно неизвестных . При этом функция Лагранжа находится обычным преобразованием Лежандра — . Несложно проверить, что для указанного примера двух частиц это преобразование приводит к исходному лагранжиану (13.1). В общем случае система (13.10) не допускает решения (аналогично случаю неголономных систем, не допускающих гамильтонова представления).

1
Оглавление
email@scask.ru