10. Ковариантное дифференцирование

Пусть S — скалярное поле. Тогда, как было показано в разд. есть ковариантный вектор. Далее, пусть — векторное поле. Является ли его производная тензором?

Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как преобразуется при преобразованиях координат. В обозначениях разд. преобразуется, согласно уравнению (3.5):

и, следовательно,

Это выражение является точным законом преобразования тензора, если в правой части отсутствует последний член. Значит, — не тензор.

Можно, однако, модифицировать операцию дифференцирования так, чтобы получить тензор. Возьмем вектор в точке х и сместим его посредством параллельного переноса в точку . При этом А остается вектором. Вычтем его из вектора А в точке — разность тоже является вектором. В первом приближении получим

Эта величина есть вектор для произвольного вектора dx, следовательно, согласно теореме о частном (см. разд. 4), коэффициент является тензором. Легко проверить непосредственно, что при преобразованиях координат он преобразуется по тензорному закону. Это выражение называется ковариантной производной и записывается в виде

Знак перед нижним индексом далее будет обозначать ковариантную производную, подобно тому, как запятая обозначает обычную производную.

Пусть — некоторый другой вектор. Определим ковариантную производную внешнего произведения как

Очевидно, что это тензор с тремя индексами. Его явный вид есть

Пусть — тензор с двумя индексами. Он выражается в виде суммы членов вида тогда его ковариантная производная записывается так:

Это правило можно обобщить для случая ковариантной производной тензора с любым числом нижних индексов:

В каждом из этих Г-членов нужно выполнить условие баланса индексов. Этого достаточно для однозначной расстановки индексов. Ковариантная производная скаляра получается из общей формулы (10.4) при нулевом числе индексов в :

Применим (10.3) к фундаментальному тензору . С учетом (7.6) это дает

Таким образом, при ковариантном дифференцировании g можно рассматривать как константу.

Формула (10.2) представляет собой обычное правило, используемое при дифференцировании произведения. Предположим, что это правило справедливо и для ковариантной производной скалярного произведения двух векторов. Тогда

Отсюда, согласно (10.5) и (10.1), получаем

следовательно,

Так как это справедливо для произвольного имеем:

что является стандартным выражением для ковариантной производной контравариантного вектора. Здесь возникает тот же символ Кристоффеля, что и в стандартной формуле (10.1) для ковариантного вектора, но со знаком плюс. Расположение индексов полностью определяется требованиями баланса индексов.

Этот формализм можно обобщить на случай ковариантной производной тензора с любым числом верхних и нижних индексов. Г-члены возникают для каждого индекса (со знаком плюс для верхнего и со знаком минус для нижнего индексов соответственно). Если свернуть два индекса, то соответствующие Г-члены сократятся.

Формула для ковариантной производной произведения

справедлива в самом общем случае для любых тензорных величин X и Y. Поскольку g при ковариантном дифференцировании ведет себя как константа, индексы можно поднимать и опускать до дифференцирования: результат будет тот же, что и при перемещении их после дифференцирования.

Ковариантная производная нетензорной величины не имеет смысла.

Физические законы должны быть справедливы во всех системах координат. Значит, они должны выражаться в виде тензорных уравнений. Если уравнения содержат производные полевых величин, то это должны быть ковариантные производные. Полевые уравнения получаются заменой обычных производных ковариантными. Например, уравнение Даламбера для скалярного поля V в ковариантной форме принимает вид

С учетом (10.1) и (10.5) это дает:

Даже если рассматривать задачу в плоском пространстве (т.е. в пренебрежении гравитационным полем) и использовать криволинейные координаты, следует записывать уравнения в терминах ковариантных производных, чтобы они сохраняли свой вид во всех системах координат.