Глава 4. Квантование на плоских поверхностях

Мы имели дело с состояниями, определенными на произвольных пространственноподобных искривленных поверхностях в пространстве-времени. Я подытожу полученные нами результаты, касающиеся тех условий, при выполнении которых квантовая теория поля, сформулированная в терминах этих состояний, будет релятивистской. Для описания поверхности мы вводим переменные, представляющие собой четыре координаты для каждой точки на поверхности. Переменные образуют криволинейную систему координат на поверхности. Величины у тогда рассматриваются как динамические координаты, и существуют сопряженные им импульсы также являющиеся функциями переменных Далее мы получаем набор первичных связей первого рода, возникающих в гамильтоновом формализме, типа

Величины К не зависят от w, но могут быть функциями любых других гамильтоновых переменных. В эти К будут входить имеющиеся в наличии физические поля. Мы анализируем полученные связи, разлагая их на компоненты, тангенциальные и нормальные к поверхности. Тангенциальные компоненты суть

тогда как нормальная компонента —

В результате этого анализа мы находим, что величины можно получить лишь из геометрических соображений. Эти следует рассматривать как нечто довольно тривиальное, связанное с такими преобразованиями, при которых изменяются координаты поверхности, но

сама поверхность не движется. Связям первого рода (4.2) отвечает движение поверхности в направлении, нормальном к ней, и они являются физически существенными.

Для непротиворечивости теории должны быть выполнены СП-соотношения (3.21)-(3.23). Некоторые из этих соотношений содержат просто и автоматически удовлетворяются в том случае, когда величины выбираются в соответствии с геометрическими требованиями. Некоторые из условий непротиворечивости линейны по и автоматически удовлетворяются, если мы выберем в виде скалярной плотности. Далее, наконец, мы имеем условия непротиворечивости, квадратичные по и эти последние существенны, ибо им нельзя удовлетворить с помощью тривиальных соображений.

Этим важным условиям непротиворечивости можно удовлетворить в классической теории, если исходить из лоренц-инвариантного принципа действия и вычислять следуя стандартным правилам перехода от принципа действия к гамильтониану. Проблема построения релятивистской квантовой теории сводится тогда к задаче подходящего выбора некоммутирующих сомножителей, входящих в квантовую величину , т. е. такого выбора, чтобы выполнялись условия непротиворечивости, а это означает, что коммутатор двух величин вида (4.2), взятых в двух точках пространства , должен быть линейной комбинацией связей с коэффициентами, стоящими слева. Таким квантовым условиям непротиворечивости обычно бывает довольно трудно удовлетворить. Это оказывается возможным в некоторых простых примерах, но в более сложных случаях удовлетворить этим условиям, по-видимому, нельзя. Мы приходим к выводу о невозможности построить квантовую теорию для таких более общего типа полей, используя состояния, определенные на произвольных искривленных поверхностях.

По-видимому, стоит упомянуть, что величины К имеют простой физический смысл: можно интерпретировать как плотность импульса, — как плотность энергии. Таким образом, плотность импульса, выраженная через гамильтоновы переменные, представляет собой величину, которую всегда легко найти просто из геометрического характера проблемы, а плотность энергии является существенной величиной, которую необходимо выбрать правильно (удовлетворив определенным перестановочным соотношениям), чтобы выполнялись требования релятивистской инвариантности.

Даже если не удается построить квантовую теорию, используя состояния, определенные на произвольных искривленных поверхностях, может все же оказаться возможным построить такую теорию, используя состояния, определенные только на плоских поверхностях.

Соответствующую классическую теорию можно получить, наложив просто условия, которые сведут искривленные поверхности, рассматривавшиеся нами ранее, к плоским. Эти условия будут следующими. Поверхность характеризуется функциями чтобы она была плоской, указанные функции должны иметь вид

(4.3)

где коэффициенты а и b не зависят от переменных Если функции имеют такой вид, то поверхность будет плоской и система координат станет прямолинейной. На данном этапе мы не требуем, чтобы система координат была ортогональной — я введу эти условия несколько позже. Таким образом, мы рассматриваем произвольную косоугольную прямолинейную систему координат

Теперь наша поверхность задана величинами и эти величины будут выступать в качестве динамических переменных, нужных для задания поверхности. Их стало значительно меньше, чем прежде. Фактически у нас здесь только переменных. Мы имеем эти 16 динамических переменных, определяющих поверхность, вместо прежних эквивалентных совокупности динамических координат.

Ограничив таким способом класс поверхностей, мы можем рассматривать это ограничение как введение ряда связей в наш гамильтонов формализм — связей, которые выражают координат у через 16 переменных. Эти связи будут связями второго рода. Введение таких связей означает сокращение числа эффективных степеней свободы для поверхности с до 16 — весьма кардинальное сокращение!

В предыдущей лекции я обрисовал общий метод трактовки связей второго рода. Сокращение числа эффективных степеней свободы приводит к новому определению скобок Пуассона. Этот общий метод не обязателен в данном случае, поскольку здесь условия достаточно просты и можно воспользоваться более прямым методом. В самом деле, мы можем непосредственно установить, что эффективные импульсные переменные остаются в теории и после сокращения числа эффективных степеней свободы для поверхности.

Ограничив таким образом наши динамические переменные, мы должны, конечно, наложить ограничение и на скорости:

Точка сверху означает дифференцирование по некоторому параметру . С изменением изменяется рассматриваемая плоская поверхность — она перемещается параллельно самой себе и при этом изменяется направление ее нормали. Поверхность, таким образом, движется с четырьмя степенями свободы, и зависимость от параметра отражает это движение.

Полный гамильтониан теперь есть

(Я вынес величины и за знак интеграла, поскольку они не зависят от переменных х.) Выражение (4.5) содержит переменные w только в виде комбинаций

Здесь мы имеем 16 комбинаций переменных w, которые будут служить новыми импульсными переменными, сопряженными 16 переменным а и b, требующимся для описания поверхности в данном случае.

Мы можем снова выразить через нормальные и тангенциальные компоненты этих величин:

Теперь введем условие: координатная система ортогональна. Это значит, что

Дифференцируя (4.7) по , получаем

(Я совершенно свободно поднимаю индексы , так как -координатная система является просто координатной системой специальной теории относительности.) Из этого уравнения видно, что величина антисимметрична по индексам и s. Поэтому последний член в выражении (4.6) равен

Теперь вы видите, что в входит не столь много, как прежде, линейных комбинаций переменных w. Единственными остающимися линейными комбинациями w являются следующие:

а также

и

(Теперь мы можем совершенно спокойно поднимать и опускать индексы , так как они относятся к прямолинейным ортогональным осям.) Эти величины представляют собой импульсные переменные, сопряженные переменным, требующимся для задания поверхности в том случае, когда, согласно наложенному ограничению, поверхность является плоской относительно прямолинейной ортогональной системы координат.

Весь набор импульсных переменных, определяемых выражениями (4.9)-(4.12), можно записать как и , где индексы u и v принимают 4 значения, причем значение 0 соответствует нормальной компоненте, а значения 1, 2, 3 отвечают трем x-компонентам.

Индексы относящиеся к x-координатной системе, обозначены строчными буквами, чтобы отличить их от индекса , относящегося к фиксированной у-координатной системе.

Итак, теперь число наших импульсных переменных сокращено до 10, и соответственно этим 10 импульсным переменным мы имеем 10 первичных связей первого рода, которые можно записать как

где

и

Мы имеем теперь 10 первичных связей первого рода, отвечающих движению плоской поверхности. В третьей лекции я упомянул, что необходимо иметь 4 первичные связи первого рода (3.10), чтобы плоская поверхность могла произвольно двигаться. Сейчас мы видим, что ограничиться четырьмя связями неудобно. Это число нужно увеличить до 10, потому что 4 элементарных движения поверхности (нормально к самой себе и изменение направления ее нормали) не образуют группу. Чтобы получить набор элементарных движений, составляющих группу, мы должны расширить его с 4 до 10, причем 6 добавочных элементов группы включают трансляции и повороты поверхности. Эти последние движения сводятся просто к преобразованию системы координат на поверхности, но не влияют на поверхность как целое. Таким путем мы пришли к гамильтонову формализму, содержащему 10 первичных связей первого рода.

Мы должны теперь обсудить условия непротиворечивости, выраженные посредством СП-соотношений. Они должны выполняться для

того, чтобы все связи были связями первого рода. Рассмотрим сначала СП-соотношения, связывающие друг с другом импульсные переменные и Эти импульсные переменные заданы, согласно (4.9)-(4.12), через w, а нам известны СП-соотношения переменных w друг с другом, а именно (3.17)-(3.19), следовательно, мы сможем найти СП-соотношения для переменных Р и М. Однако нет необходимости продолжать здесь процедуру определения СП-соотношений для переменных Р и М. Достаточно уяснить себе, что эти переменные в точности соответствуют операторам трансляций и поворотов в четырехмерном плоском пространстве-времени, и потому СП-соотношения для них должны точно соответствовать перестановочным соотношениям между операторами трансляций и поворотов. В любом случае мы получаем следующие СП-соотношения:

(это означает, что различные трансляции коммутируют),

Теперь рассмотрим условия, при выполнении которых первичные связи (4.13) и (4.14) будут первого рода. Скобка Пуассона любых двух из них должна быть величиной, которая слабо равна нулю, и, следовательно, она должна представлять собой линейную комбинацию этих связей. Таким образом, мы приходим к СП-соотношениям

и

Для получения этих соотношений использовалось следующее соображение: в правой части каждого соотношения должна стоять величина, которая слабо равна нулю, и нам известны члены в правых частях, в которые входят переменные Р, М, так как эти члены происходят только

от скобок Пуассона (4.19)-(4.21). (Я уже использовал то же самое соображение в случае искривленных поверхностей при выводе соотношений (3.21)-(3.23), так что нет необходимости подробно рассматривать это здесь. В качестве примера разберем, как выводится (4.23). Члены, содержащие Р, являются как раз теми же самыми, что и в (4.20). Они получаются из скобки Пуассона Р и М. Остальные члены добавлены для того, чтобы полное выражение слабо равнялось нулю.) Соотношения (4.22)-(4.24) представляют собой условия непротиворечивости.

Мы можем провести дальнейшее упрощение, невозможное в случае криволинейных координат, следующим образом. Предположим, что наши основные характеристики поля выбраны таким образом, что они связаны только с x-координатной системой. Они являются характеристиками поля в некоторых частных точках на поверхности, и мы можем выбрать их так, чтобы они вовсе не зависели от у-координатной системы. Тогда величины совершенно не будут зависеть от у-координатной системы, а это означает, что скобки Пуассона с переменными Р, М будут равны нулю. В таком случае скобки Пуассона каждой из переменных и каждой из Р, М равны нулю.

Это свойство вытекает из естественного выбора динамических переменных для описания имеющихся физических полей. Мы не можем провести соответствующего упрощения при использовании искривленных поверхностей, потому что в величины войдут переменные с помощью которых задается метрика. Из-за этого мы не можем представить в такой форме, которая совсем не была бы связана с у-координатной системой, поскольку координаты у входят в переменные . Однако для плоских поверхностей это упрощение осуществимо и приводит к тому, что соотношения (4.22)-(4.24) принимают более простой вид:

(4.26)

и

(4.27)

Величины Р и М выпали из этих соотношений, так что условия непротиворечивости содержат теперь только характеристики поля, но

не содержат переменных, вводимых для описания поверхности. Фактически эти условия просто означают, что переменные удовлетворяют СП-соотношениям, соответствующим операторам трансляций и поворотов в плоском пространстве-времени. Проблема построения релятивистской теории поля сводится теперь к отысканию величин , удовлетворяющих СП-соотношениям (4.25)-(4.27).

Вспомним, что эти величины определены с помощью — плотности энергии и плотности импульса. Выражение для плотности импульса точно такое же, как и в случае криволинейных координат. Эта величина определяется только из геометрических соображений. Наша задача сводится к нахождению плотности энергии приводящей к таким рига, при которых соотношения выполняются.

Если мы исходим из лоренц-инвариантного интеграла действия и выводим из него с помощью стандартных гамильтоновых методов, то плотность энергии автоматически будет удовлетворять указанным условиям в классической теории. Проблема построения релятивистской квантовой теории сводится тогда к задаче правильного выбора порядка сомножителей, входящих в а именно такого, чтобы соотношения (4.25)-(4.27) удовлетворялись также и в квантовой теории, когда скобки Пуассона переходят в коммутаторы, содержат некоммутирующие величины.

Рассмотрим соотношения (4.25)-(4.27) и выразим в них р и через величины К. Тогда мы увидим, что некоторые из этих соотношений окажутся независимыми от Они автоматически удовлетворяются при должном выборе согласующемся с геометрическими требованиями. Некоторые из соотношений линейны по Им можно удовлетворить, взяв в виде трехмерной скалярной плотности в пространстве переменных Итак, будем считать, что задача о выполнении соотношений, линейных по решена. Трудно удовлетворить условиям, квадратичным по Они имеют следующий вид:

Уравнение (4.28) получено из (4.26), где мы положили , а уравнение (4.29) получено из (4.27), где мы взяли

и . Таким образом, проблема получения релятивистской квантовой теории поля сводится теперь к задаче нахождения такой плотности энергии Ккоторая удовлетворяет условиям (4.28) и (4.29) с учетом некоммутативности сомножителей.

Мы можем проанализировать эти условия еще несколько детальнее, приняв во внимание, что скобка Пуассона, связывающая в одной точке и в другой, будет представлять собой сумму членов, содержащих дельта-функции и производные от дельта-функций:

(Символ означает трехмерную дельта-функцию, содержащую три координаты и три координаты первой и второй точек соответственно.) Здесь Можно было бы написать коэффициенты, зависящие также от но в таком случае их можно заменить коэффициентами, зависящими только от ценой некоторых изменений указанных коэффициентов ряда. Нет никакой глубокой асимметрии между переменными асимметрия имеется только в отношении способа записи уравнения.

Уравнение (4.30) является общим соотношением, связывающим значения плотности энергии в двух точках. Далее, во многих случаях, включающих все наиболее известные поля, производные от дельта-функции порядка выше второго не появляются. Исследуем этот случай подробнее.

Примем, что производных порядка выше второго нет. Это означает, что ряд (4.30) обрывается на третьем члене.

В этом частном случае мы можем получить довольно много сведений относительно коэффициентов а, b и с, используя свойство антисимметрии скобки Пуассона (4.30) по отношению к перестановке точек . Переставляя местами в (4.30) и учитывая, что и т.д., получаем

Выражение (4.31) должно тождественно равняться выражению (4.30) с обратным знаком. Чтобы коэффициенты при отвечали такому

требованию, мы должны иметь

При этом оказываются согласованными и коэффициенты при . Наконец, чтобы коэффициенты при отвечали этому требованию, мы должны иметь

Это дает

Подставим теперь этот результат в соотношения (4.28) и (4.29). Они примут следующий вид:

(Заметим, что ) Таким образом, наши условия непротиворечивости сводятся к (4.35) и (4.36), и мы видим, что они удовлетворяются, если взять . Это не самое общее решение; в более общем случае мы могли бы иметь

где — произвольная величина, удовлетворяющая условию

Таким образом, в может обладать произвольной симметричной частью, а ее антисимметричная часть должна представлять собой дивергенцию некоторой величины.

В этом заключается общее требование, обеспечивающее релятивистский характер теории поля. Мы должны найти плотность энергии удовлетворяющую СП-соотношению (4.34), где величины связаны с плотностью импульса согласно (4.37). Если мы находим плотность энергии из лоренц-инвариантного действия, то это условие определенно будет выполнено в классической теории. Оно может не выполняться в квантовой теории из-за неверного расположения сомножителей. Релятивистски инвариантную квантовую теорию мы получим только в том случае, если нам удастся выбрать порядок сомножителей в выражении для плотности энергии таким образом, чтобы точно удовлетворить условиям (4.34) и (4.37). Условия, которые обеспечивают здесь релятивистский характер квантовой теории, не столь строги, как те, что мы получили, рассматривая состояния, определенные на произвольных искривленных поверхностях.

Я хотел бы проиллюстрировать это на примере электродинамики Борна-Инфельда. Эта электродинамика согласуется с электродинамикой Максвелла в случае слабых полей, но отличается от нее в случае сильных полей. (Мы относим здесь величины, описывающие электромагнитное поле, к некоторым абсолютным единицам, определенным через заряд электрона и его классический радиус, так что можно говорить о сильных и слабых полях.) Общие уравнения электродинамики Борна-Инфельда вытекают из принципа действия, причем интеграл действия равен

На этом этапе мы можем использовать криволинейные координаты. Тензор задает метрику в криволинейных координатах, а тензор F определяет электромагнитное поле, измеряемое в абсолютных единицах.

С помощью общей процедуры мы можем перейти от этого интеграла действия к гамильтониану. В результате получим гамильтониан, в который входят, помимо переменных, нужных для описания поверхности, динамические координаты . Компонента оказывается несущественной, точно так же, как и в случае поля Максвелла. Сопряженные импульсы представляют собой компоненты электрической индукции, и они удовлетворяют СП-соотношениям

Оказывается, что величина А входит в гамильтониан только под знаком ротора, а именно, через переменные поля:

Символ при и антисимметричен по всем индексам. Перестановочные соотношения между В и D таковы:

Плотность импульса в этом случае равна

Она точно такая же, как в теории Максвелла. Это согласуется с тем общим принципом, что плотность импульса определяется только из геометрических соображений, т.е. задается геометрией полей, которые мы используем, и не зависит от принципа действия.

Плотность энергии теперь равна

Здесь — метрический тензор трехмерной поверхности, и

Работая с искривленными поверхностями, мы требуем, чтобы удовлетворяла СП-соотношению (3.31). В классической теории это требование обязано выполняться, поскольку величина получается из лоренц-инвариантного интеграла действия. Но нам не удастся добиться того, чтобы она удовлетворяла необходимому перестановочному соотношению в квантовой теории. В выражении для имеется квадратный корень, из-за чего с ним очень неудобно обращаться. Кажется совершенно безнадежным пытаться точно удовлетворить перестановочным соотношениям с коэффициентами , стоящими слева. Поэтому, по-видимому, невозможно построить квантовую электродинамику Борна-Инфельда для состояния, определенного на искривленной поверхности.

Перейдем, однако, к плоским поверхностям. В этом случае нам нужно рассмотреть СП-соотношение (4.34). Мы знаем, что в классической теории с этим условием все обстоит благополучно. Следовательно, в классическом случае должно выполняться СП-соотношение

И без подробного расчета ясно, что это соотношение должно остаться в силе и в квантовой теории, так как построена целиком из Действительно, переходя к квантовой теории, мы получаем величины D и В, расположенные некоторым образом, но все D и В, взятые в одной и той же точке, коммутируют друг с другом. Это видно из формулы (4.42). Если положить в ней , то мы найдем

(производная от дельта-функции при значении аргумента, равном нулю, считается равной нулю). Таким образом, нас не должен беспокоить вопрос о некоммутативности D и В, входящих в . Поэтому мы должны получить классическое выражение, так что условия непротиворечивости выполняются.

Таким образом, в случае электродинамики Борна-Инфельда условия непротиворечивости в квантовой теории на плоских поверхностях выполняются, хотя они не выполняются на искривленных поверхностях. Физически это означает, что мы можем сформулировать основные уравнения квантовой электродинамики Борна-Инфельда в согласии со специальной теорией относительности, но мы столкнемся с затруднениями, если захотим согласовать эту теорию с общей теорией относительности.

Этим завершается обсуждение условий непротиворечивости, обеспечивающих релятивистский характер квантовой теории. Однако, даже удовлетворив этим условиям, мы еще не избавимся от всех затруднений. На нашем пути имеется еще ряд вполне внушительных препятствий. Если бы мы имели дело с системой только с конечным числом степеней свободы, то все препятствия были бы преодолены и перед нами стояла бы задача непосредственно решить дифференциальные уравнения для . Но в теории поля имеется бесконечное число степеней свободы, и эта бесконечность может привести к неприятности. Как правило, так оно и бывает.

Мы должны решить уравнения, в которых искомая величина — волновая функция — зависит от бесконечного числа переменных. Обычным методом решения уравнений такого типа является применение теории возмущений, в которой волновая функция разлагается в ряд по степеням некоторого малого параметра, и решение ищется методом последовательных приближений. Но мы сталкиваемся с тем осложнением, что на некотором этапе уравнения приводят к расходящимся интегралам.

На разрешение этой проблемы затрачены огромные усилия. Развиты методы обращения с этими расходящимися интегралами, которые, по-видимому, удовлетворительны с точки зрения физика, даже если их невозможно обосновать математически. Создана техника перенормировок, позволяющая устранить расходимости в некоторых случаях теории поля.

Поэтому, даже удовлетворив формально требованиям непротиворечивости, мы можем столкнуться еще с тем затруднением, что не будем знать, как найти решения волнового уравнения, удовлетворяющие необходимым дополнительным условиям. Если мы сможем получить такие решения, то останется еще дальнейшая проблема введения скалярных произведений для них, т. е. мы должны будем рассмотреть эти решения как векторы в гильбертовом пространстве. Ввести эти скалярные произведения необходимо, так как это позволит дать физическую интерпретацию нашей волновой функции по обычным правилам физической интерпретации квантовой механики. Скалярные произведения необходимо задать для волновых функций, удовлетворяющих дополнительным условиям, но мы не обязаны беспокоиться об определении скалярных произведений для волновых функций общего вида, не удовлетворяющих дополнительным условиям. Может оказаться, что для этих общих волновых функций нет никакого способа ввести скалярные произведения, но это не имеет никакого значения. Для физической интерпретации в квантовом случае требуется только, чтобы эти скалярные произведения существовали для волновых функций, удовлетворяющих всем дополнительным условиям.

Вы видите, что в задаче построения гамильтоновой теории в квантовом аспекте имеются весьма внушительные трудности. Что касается классической формулировки, развитый метод, по-видимому, в значительной

мере завершен, и мы ясно представляем себе положение вещей; в случае же квантовой механики мы фактически только приступили к исследованию проблемы. Имеются трудности в нахождении решений, даже когда дополнительные условия формально непротиворечивы, и затруднения возможны также при введении скалярных произведений для решений.

Затруднения весьма серьезны, и это привело к тому, что ряд физиков подвергает сомнению ценность всего метода Гамильтона. Довольно много физиков работают сейчас над проблемой построения квантовой теории поля без использования какого бы то ни было гамильтониана. Их общий метод состоит в следующем. В рассмотрение вводят величины, имеющие физический смысл; далее используют общие принципы для того, чтобы наложить условия на рассматриваемые величины, и надеются, в конце концов, что условий, налагаемых на физически важные величины, окажется достаточно для вычисления их. Сторонники этого метода все еще очень далеки от цели, и, по моему мнению, обойтись вовсе без метода Гамильтона невозможно. Метод Гамильтона доминирует в механике при классическом подходе. Возможно, что наш метод перехода от классической механики к квантовой механике еще не является корректным. Тем не менее я думаю, что любая будущая квантовая теория должна содержать элемент соответствия гамильтоновой теории, может быть, даже и не в такой именно форме, как это представлено здесь.

Я довел изложение метода Гамильтона до той стадии, до которой он разработан к настоящему времени. Это очень общий и мощный метод; его можно использовать в самых разных задачах. Он может быть приспособлен к задачам, в которых поле имеет сингулярности (в точке или на поверхности). При таком развитии гамильтоновой теории мы должны руководствоваться следующей общей идеей. Нужно найти такое действие I, зависящее от некоторых параметров q, что при варьировании q мы будем иметь вариацию 81, линейную по Линейность по необходима для того, чтобы можно было применить рассмотрение, описанное в настоящих лекциях.

Способ, с помощью которого можно ввести свойство линейности при наличии сингулярностей, состоит в следующем. Нужно использовать криволинейные координаты и не варьировать никаких уравнений, определяющих положение сингулярной точки или сингулярной поверхности. Например, если мы имеем дело с сингулярной поверхностью, заданной

уравнением , то мы должны иметь вариационный принцип, в котором не варьируется. Если мы позволим функции изменяться и будем считать, что сама определяет некоторые из параметров q, то в этом случае вариация не будет линейной по Но мы можем фиксировать относительно некоторой криволинейной системы координат и затем варьировать поверхность путем варьирования криволинейной системы координат при равной нулю вариации функции . В таком случае общий метод, который я здесь обсудил, оказывается вполне удовлетворительным в рамках классической теории. При переходе к квантовой теории возникают затруднения, о которых я говорил.