4. Уравнения движения

Обычные лагранжевы уравнения движения мы считаем слабыми уравнениями

Подставляя в (4.1) значения р из (2.2), мы получаем уравнения, содержащие ускорения . В стандартном случае эти уравнения определят все q как функции q и q. В случае с М уравнениями (2.4) уравнения движения дадут нам только (N — М) уравнений для q. Остающиеся М уравнений движения покажут нам, как меняются со временем . Для самосогласованности должны остаться нулями. Эти условия самосогласованности будут исследованы позднее.

С помощью (3.7) уравнения движения (4.1) принимают вид

Уравнения (4.2) вместе с (3.6) образуют гамильтоновы уравнения движения. Их задают функция и уравнения . Гамильтоновы уравнения движения выражают q и р через гамильтоновы переменные q, р, v. Они не дают прямой информации о v, но исследование условий самосогласованности даст нам некоторую косвенную информацию.

Гамильтоновы уравнения движения выглядят проще, если воспользоваться понятием скобки Пуассона (СП). Для любых двух функций и аргументов q и р определяется соотношением

Легко проверить, что СП остается инвариантной относительно такого преобразования к новым q и р, при котором новые q — любые независимые функции первоначальных q, а новые р определяются новыми уравнениями (2.2) с L, выраженным через новые q и их производные по времени. СП приобретает свое значение благодаря этому свойству инвариантности. СП обладает следующими свойствами, легко проверяемыми из определения:

Во втором из этих свойств — любая функция набора величин каждая из которых зависит от q и р. Третье свойство, называемое тождеством Пуассона, справедливо для любых трех функции , зависящих от q и р.

Желательно расширить понятие СП на функции, зависящие от скоростей q, которые нельзя выразить только через q и р. Мы примем, что эти более общие СП обладают свойствами (4.4), а в остальном произвольны. Напротив, мы можем предположить, что q произвольным образом зависят от q и р, а свойства (4.4) тогда можно вывести для и С, зависящих и от q.

Из сильного уравнения мы можем вывести слабые уравнения

и, следовательно, с использованием второго из свойств (4.4)

для любой Может оказаться, что (например, когда по определению), но в общем случае это не так. Из слабого уравнения не следует общего заключения, что .

Если g — любая функция q и р, из (3.6) и (4.2) мы имеем

Это — общее гамильтоново уравнение движения. С помощью (2.4) его можно переписать и виде

в точности совпадающем с обычным гамильтоновым уравнением движения, записанным через СП.