1. Специальная теория относительности

Для описания физического пространства-времени требуется четыре координаты: время t и три пространственные координаты x, у, z. Положим

тогда четыре координаты можно записать в виде , где индекс пробегает значения 0, 1, 2, 3. Индекс записан в верхней позиции, чтобы выполнить условие баланса индексов во всех общих уравнениях теории. Точное значение выражения «баланс индексов» станет ясным чуть позже.

Возьмем точку, близкую к рассмотренной точке пусть ее координаты будут Четыре величины dx, описывающие смещение, можно рассматривать как компоненты вектора. Законы специальной теории относительности позволяют производить линейные однородные преобразования координат, выражающиеся в линейных однородных преобразованиях Эти преобразования таковы, что величина

является инвариантом (выбрана система единиц измерений длины и времени, в которой скорость света

Совокупность величин Акоторые при преобразованиях координат преобразуются так же, как dx называют контравариантным вектором. Инвариантную величину

можно назвать квадратом длины вектора. Если есть второй контравариантный вектор В, то существует инвариантное скалярное произведение

Для удобства записи таких инвариантов введем нижние индексы. Определим

Тогда запишем выражение в левой части (1.2) в виде где подразумевается суммирование по четырем значениям индекса . В таких обозначениях (1.3) можно представить в виде или .

Четыре величины введенные выражениями (1.4), также можно рассматривать как компоненты вектора. Законы преобразования этих величин при преобразованиях координат несколько отличаются от законов преобразования из-за различия в знаках. Такой вектор называют ковариантным вектором.

Из двух ковариантных векторов А и В можно образовать шестнадцать величин (индекс v, так же как все греческие индексы в этой книге, пробегает значения 0, 1, 2, 3). Эти шестнадцать величин образуют компоненты тензора второго ранга. Их иногда называют внешним произведением векторов и Вв отличие от скалярного произведения (1.3), которое называют внутренним произведением.

Тензор является специальным, так как его компоненты связаны друг с другом определенными соотношениями. Однако, складывая несколько тензоров, образованных таким способом, можно получить тензор второго ранга самого общего вида, скажем

Этот тензор обладает важным свойством: при преобразованиях координат его компоненты преобразуются так же, как величины

Можно опустить один из индексов в применяя правило опускания индексов к каждому члену в правой части (1.5). Так образуется или Опуская оба индекса, получаем величину можно положить что приводит к Т. Здесь должно быть произведено суммирование по четырем значениям Далее всегда по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Значит, Т является скаляром; Т тождественно равно Т.

Можно продолжить эту процедуру и перемножить более чем два вектора с различными индексами. Таким способом строятся тензоры высшего ранга. Если все векторы контравариантны, то у тензора будут только верхние индексы. Если же опустить некоторые индексы, то получим тензор общего вида с рядом верхних и рядом нижних индексов.

Положим определенный нижний индекс равным определенному верхнему индексу. Тогда должно быть произведено суммирование по всем значениям этого индекса. Он становится немым. Остается тензор, имеющий на два свободных индекса меньше, чем первоначальный. Такую процедуру называют сверткой. Итак, если исходить из тензора четвертого ранга то, сворачивая сначала по индексам и р, получим тензор второго ранга , который имеет только шестнадцать компонент, соответствующих четырем значениям индексов и v. Произведя свертку снова, придем к скаляру , состоящему из единственной компоненты.

Теперь проясняется смысл выражения «баланс индексов». Каждый свободный индекс появляется в уравнении один и только один раз в каждом члене (слагаемом) уравнения и является всегда (во всех слагаемых) верхним или всегда нижним. Индекс, возникающий дважды в одном члене, является немым и должен находиться один раз в верхнем и один раз в нижнем положении. Его можно заменить любым другим греческим индексом, еще не использованным в этом члене уравнения. Таким образом, . Индекс никогда не должен появляться более чем дважды в одном члене.