22. Гармонические координаты

Уравнение Даламбера для скалярного поля V с учетом (10.9) дает

В плоском пространстве в неортогональной системе координат каждая из четырех координат удовлетворяет уравнению . В (22.1) можно в качестве V подставить . Так как в отличие от V не является скаляром, полученное уравнение, разумеется, не будет тензорным, т. е. это уравнение справедливо только в определенных координатных системах. Оно накладывает на координаты некоторые ограничения.

Если в качестве V подставить , то V следует заменить величиной уравнение (22.1) примет вид

Координаты, удовлетворяющие этому условию, называют гармоническими. Они аппроксимируют неортогональные координаты с максимальной точностью, какая только возможна в искривленном пространстве. При желании их можно использовать в любой ситуации, однако очень часто дело того не стоит, так как тензорный формализм в произвольных координатах действительно является весьма удобным аппаратом. При рассмотрении гравитационных волн гармонические координаты все же оказываются очень полезными.

Из (7.9) и (7.6) имеем в произвольных координатах

Отсюда с учетом (20.6) следует равенство

Сворачивая его по двум индексам (полагаем ), получаем

(22.5)

Видно, что альтернативная форма записи условий гармоничности